Наконец, если, с одной стороны, я заботился о усовершенствовании математического анализа, то, с другой стороны, от меня была далека мысль, что сам анализ должен вполне удовлетворять всем наукам философского содержания. Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указании наших чувств. Хотя до сих пор никто посредством анализа не пытался доказать существование Августа или Людовика XIV, но каждый здравомыслящий согласится с тем, что в действительном существовании этих лиц он убежден так же, как и в справедливости теоремы Пифагора или Мак-лорена. Более того, я замечу, что доказательство последней теоремы доступно пониманию, да и сами ученые еще не во всем согласны, в каких пределах она справедлива, между тем, как все хорошо знают, кто царствовал во Франции в XVII столетии и этому нельзя разумно возражать. То, что я сказал относительно исторического факта, в такой же степени может быть применено к множеству других религиозных, нравственных и политических вопросов. Итак, мы должны четко сознавать, что существуют истины и кроме алгебраических и что есть действительность, которая существует независимо от предметов познаваемых чувствами. Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространять их значение за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.
Заканчивая это предисловие, я считаю себя обязанным сказать о большой пользе, которую мне принесли советы и знания многих лиц, особенно Пуассона, Ампера и Кориолиса. У последнего, между прочим, я заимствовал правило о сходимости произведений, составленных из бесконечного числа сомножителей. Я также воспользовался как многочисленными замечаниями, так и тем способом, который Ампер развил в своих «Уроках анализа».
ЛОБАЧЕВСКИЙ
(1792—1856)
Николай Иванович Лобачевский родился под Нижпим Новгородом. Отец его был мелким чиновником в межевой конторе; он умер, когда Николаю было 6 дет. Мать Николая Ивановича, овдовев в возрасте 25 лет, жила с тремя сыновьями в небольшом имении. Судьба Лобачевского неразрывно связана с Казанью, где с 10 лет он вместе с братьями учился в Казанской гимназии, а затем — в только что основанном Казанском университете. Лобачевский учился блестяще, однако поведение его отмечалось как неудовлетворительное: «вольнодумство, мечтательное о себе самомнение, упорство...»
Профессором, оказавшим большое влияние на развитие пауки в Казани, был Бартельс, хороший математик, друживший с Гауссом; лекции по астрономии читал профессор Литтров. Лобачевский получил отепень магистра в 1811 г.; вскоре он стал адъюнктом и затем профессором и с 1823 г. уже заведовал кафедрой математики университета. Еще раньше Лобачевский начал работать над основаниями геометрии, и повод для его размышлений дало преподавание математики на курсах усовершенст-вования младших чиновников. После ряда безуспешных попыток исключения аксиомы о параллельных Лобачевский пришел к выводу о возможности создания новой непротиворечивой геометрии, «воображаемой геометрии», как он ее назвал. Последующие годы жизни оп в значительной мере посвятил детальной разработке этой области математики. Лобачевскому принадлежат также важные исследования в области анализа и алгебры.
В 1827 г. Лобачевский избирается ректором университета; этот пост оп занимал до 1846 г., когда, вопреки желанию Совета университета, был уволен в отставку по возрасту. Каванский университет в года ректорства Лобачевского сильно расширился и укрепился как научный центр. Лобачевский был прекрасным администратором, сильным в проведении решений и независимым в своих суждениях. В то же время, по свидетельству современников, он обладал чувством доброго юмора. Умер Лобачевский под Нижним Новгородом в имении матери. За год до смерти Лобачевский опубликовал «Пангеометршо), подытоживающую результаты по созданию нм новой геометрии; последние ее главы он уже диктовал, так как под конец жизни ослеп.
Величие открытия Лобачевского было оценено далеко не сразу: в России даже такой математик, как Остроградский не принял его работ, и из всех современников лишь Гаусе понимал значение и глубину этих идей. Гаусс представил Лобачевского к избранию в Ганноверскую Академию наук, единственную научную почесть, оказанную, по выражению английского математика Клиффорда, этому «Копернику геометрии». Лобачевский, как и Гаусс, в наблюдениях астрономии и геодезии искал пределы области применимости геометрии Эвклида к реальному миру,— проблема, которая ныне решается в релятивистской космологии, в общей теории относительности — теории пространства, времени и тяготения.
Мы приводим вступление к первой работе Лобачевского «О началах геометрии», опубликованной в 1829 г. в Вестнике Казанского университета.
О НАЧАЛАХ ГЕОМЕТРИИ [77]
Кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным! истинам в природе; так не как она возрастает в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями. Вот почему трудности в Геометрии должны принадлежать, во-первых, самому предмету. Далее, средства, к которым надобно прибегнуть, чтобы достигнуть здесь последней строгости, едва ли могут отвечать цели и простоте сего учения. Те, которые хотели удовлетворить сим требованиям, заключили себя в такой тесный круг, что все усилия их не могли быть вознаграждены успехом. Наконец, скажем и то, что со времени Ньютона и Декарта, вся Математика, сделавшись Аналитикой, пошла столь быстрыми шагами вперед, что оставила далеко за собой то учение, без которого могла уже обходиться и которое с тем вместе перестало обращать на себя внимание, какое прежде заслуживало. Эвклидовы начала, таким образом, несмотря на глубокую древность их, несмотря на все блистательные успехи наши в Математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки.
В самом деле, кто не согласится, что никакая Математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Эвклида, начинаем мы Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий. Правда, что против ложных заключений от неясности первых и общих понятий в Геометрии предостерегает нас представление самых предметов в нашем воображении, а в справедливости принятых истин без доказательства убеждаемся простотою их и опытом, например астрономическими наблюдениями; однако ж все это нисколько не может удовлетворить ум, приученный к строгому суждению. К тому и не вправе пренебрегать решением вопроса, покуда оно неизвестно и покуда не знаем, не послужит ли оно еще к чему другому.
Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в Геометрии. Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в повом виде всей науки. О прочих недостатках Геометрпи, менее важных по затруднению, не почитаю нужным говорить подробно. Ограничусь одним только замечанием, что они относятся к способу преподавания. Никто не помышляет отделить то, что исключительно принадлежит Геометрии, от того, где наука сия становится уже другою, т.е. Аналитикой.
Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить.
Ничего не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что всё в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано. Не таковы положения Механики: человек с помощью одних ежедневных своих опытов не мог бы прийти к ним. Вечность и одинаковость раз сообщенного движения, где скорость служит мерою оного и массы различных тел — такого рода истины, которые требовали времени, пособия других познаний и ожидали гения...
БУЛЬ
(1815-1864)
Джордж Буль родился в Линкольне (средняя Англия) в семье мелкого лавочника. Буль получил только среднее образование и, блестяще окончив школу, стал учителем в предместьях Лондона. Он самостоятельно изучил высшую математику, европейские языки; латынь и греческий он знал еще со школы.
Одна из ранних работ Буля по анализу была послана в Лондон. В силу неизвестности автора и сложности вопроса ее чуть не отклонили от публикации в «Известиях Королевского общества». Однако через два года за эту работу это же общества присудило Булю Королевскую медаль. В 1849 г. Буль стал профессором математики в колледже в Корке (Ирландия), где он и прожил до конца своей жизни. Сорока лет Буль женился на Мэри Эверест. У Буля было 5 дочерей, из которых младшая, Этель Войнич, известна как автор замечательного романа «Овод».
