Одна из ранних работ Буля по анализу была послана в Лондон. В силу неизвестности автора и сложности вопроса ее чуть не отклонили от публикации в «Известиях Королевского общества». Однако через два года за эту работу это же общества присудило Булю Королевскую медаль. В 1849 г. Буль стал профессором математики в колледже в Корке (Ирландия), где он и прожил до конца своей жизни. Сорока лет Буль женился на Мэри Эверест. У Буля было 5 дочерей, из которых младшая, Этель Войнич, известна как автор замечательного романа «Овод».
Буль отличался большой независимостью и оригинальностью ума, но при жизни оп был мало известен и понят немногими. Основные его труды посвящены высшей алгебре, теории вероятностей и теории дифференциальных уравнений, исчислению конечных разностей. Но наибольшее значение имеет созданная Будем символическая математическая логика. Изобретенная Булем алгебра — булева алгебра — стала уни-нереальным языком для описания всех логических процессов, в том числе и современных логических автоматов и электронных вычислительных машин.
В 1854 г. появилось знаменитое теперь сочинение Буля «О законах мышления». Однако раньше в 1847 г. было опубликовано первоначальное изложение этого крута вопросов в книге «Математический анализ логики», предисловие к которой мы и приводим.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛОГИКИ Предисловие
Представляя это сочинение вниманию читателей, я считаю не лишним заметить, что соображения, подобные тем, которые в нем изложены, занимали мои мысли в различные времена. Весной этого года мое внимание к этому вопросу было привлечено сэром В. Гамильтоном и профессором де Морганом. Я был вдохновлен тем интересом, который они возбудили во мне, и возобновил почти забытую цепь ранее проведенных исследований. Мне казалось, что хотя логика и может рассматриваться по отношению к понятию количества, в ней также содержится другая и более глубокая система взаимоотношений. Если законно рассматривать логику извне, через ее связь посредством числа с понятиями пространства и времени, то также законно рассматривать ее изнутри, на основе понятий другого порядка, которые находят свое место в строении ума. В представленном трактате содержатся следствия этих воззрений и исследований, которые они подсказали.
Обычно не принято автору указывать на то, как следует судить его труд. Есть однако два условия, которые я осмелюсь поставить перед теми, кто предпримет оценку данной работы. Во-первых, никакие предвзятые представления о невозможности цели этой работы не должны мешать искренности и беспристрастности исследования того, что требует истина. Во-вторых, суждение о системе в целом не должно быть основано на рассмотрении только ее части, или на согласии с уже принятой системой, полагаемой за общепринятую, и истинность которой не подлежит пересмотру. Именно в общих теоремах, содержащихся в наиболее полном виде в последних главах этого сочинения,— которым нет по существу ничего подобного,— утверждается сущность метода анализа дедуктивного мышления.
"У меня нет ни желания, ни права предсказывать конечную оценку значимости этой системы. Оценка теории определяется не только ее правильностью. Она также зависит от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть еще место свободным суждениям человека. Если бы польза от математических формул для науки логики была лишь вопросом обозначений, я был бы удовлетворен тем, чтобы положиться па защиту этого подхода, сформулированную ныне живущим способным автором: «Во всех случаях, когда природа вопроса допускав безопасное проведение процесса мышления механически, следует построить язык по возможности опирающимся на механические принципы. В противном случае язык следует строить так, чтобы возникали все возможные препятствия к его механическому использованию»[78]. В одном смысле наука логики отличается от всех других наук. Совершенство ее метода в основном ценно как свидетельство мысленной истинности ее принципов. Превзойти ее путем использования здравого смысла или же подвергать ее испытаниям в техническом совершенстве было бы последним желанием того, кто знает цену того умственного труда и той борьбы, которые придают уму атлетическую силу и учат его бороться с трудностями и полагаться на себя в минуты тревоги.
Линкольн,
29 октября 1847 г.
ПУАНКАРЕ
(1854—1912)
Анри Пуанкаре родился в Нанси, в состоятельной буржуазной семье; его отеп был профессором медицины. Первоначальное образование он сначала получил дома, затем — в Лицее; девятнадцати лет он поступил в Политехническую школу.
Академическая жизнь Анри Пуанкаре началась рано и протекала блестяще. Тридцати лет он стал профессором Сорбонны, в 32 года — членом Парижской Академии, а к сорока годам — членом почти всех ученых обществ мира. Большую часть жизни Пуанкаре провел в Париже, покидая его на время бесчисленных путешествии. Каждый год, начиная читать лекции, Пуанкаре приступал к изложению нового раздела физики или математики. Большинство этих лекций издано и они составляют обширнейшую часть творческого наследия ученого. Более 500 научных работ и 30 книг, написанных им, посвящены разнообразнейшим проблемам математики, астрономии, физики, космогонии, геодезии. Пуанкаре много писал по философии и методологии науки. Он был женат на правнучке знаменитого биолога Жоффруа Сент-Илера, а его двоюродный брат Раймон Пуанкаре был в 1913—1920 гг. президентом Французской республики. Анри Пуанкаре умер 58 лет после неудачной операции.
Очень трудно, по существу невозможно, дать даже беглый обзор творчества этого глубокого и разностороннего ученого. Основные его работы посвящены созданию новых, качественных методов в математике и механике. В математике Пуанкаре развил теорию групп и заложил основы топологии. Сочинение Пуанкаре «Новые методы в небесной механике» (1892), удостоенное конкурсной премии Шведской Академии наук, положило начало развитию нелинейной механики. Анализ физических основ механики электрона и электродинамики непосредственно привел Пуанкаре к концепциям теории относительности, одним из творцов которой он является. Быть может, творчество Пуанкаре точнее всего отмечает рубеж, отделяющий эпоху классической физики и математики — механики Ньютона и анализа бесконечно малых — от современной. Глубокая критика некоторых сторон философских представлений Пуанкаре была дана В. И. Лениным в книге «Материализм и эмпириокритицизм».
Мы приводим вступление к мемуару Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1889) и предисловие к его кпиге «Новые методы в небесной механике» (1892).
О КРИВЫХ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
ПЕРВЫЙ МЕМУАР
Полная теория функции, определяемых дифференциальными уравнениями, была бы чрезвычайно полезна для большого числа вопросов математики и механики. К сожалению, сразу видно, что в громадном большинстве случаев, с которыми нам приходится иметь дело, эти уравнения не могут быть проинтегрированы с помощью уже известных нам функций, например, с помощью функций, определяемых квадратурами. И если бы мы захотели ограничиться только теми случаями, которые можно изучить при помощи определенных или неопределенных интегралов, то область наших исследований оказалась бы чрезвычайно суженной, и огромное большинство вопросов, встречающихся в приложениях, осталось бы нерешенным.
Необходимо, следовательно, изучать функции, определяемые дифференциальными уравнениями сами по себе, не пытаясь сводить их к более простым функциям, так же, как это было сделано по отношению к алгебраическим функциям, которые сначала пытались свести к радикала^ а теперь изучают непосредственно, так же, как это было сделано по отношению к интегралам от алгебраических дифференциалов после долгих попыток выразить их в конечном виде.
Таким образом, исследование свойств функций, определяемых дифференциальными уравнениями,— задача, представляющая величайший интерес. Первый шаг на этом пути уже был сделан, когда было изучено поведение функции, определяемой дифференциальным уравнением, в окрестности какой-либо заданной точки плоскости. Задача, стоящая теперь перед нами,— это пойти дальше и изучить поведение этой функции на всем протяжении плоскости. В этом исследовании нашей отправной точкой, очевидно, будут служить уже известные результаты, относящиеся к поведению такой функции в некоторой области плоскости.
Полное исследование функций состоит из двух частей:
1) качественной (если можно так выразиться) части, или геометрического изучения той кривой, которая определяется этой функцией;
2) количественной части, или вычисления численных значений функции.
