Некоторые студенты воспользовались различного рода таблицами. Кое-кто из них выписывал количество «отработанных» часов со знаком плюс, а число «одолженных» часов - со знаком минус Другой студент разделил исходную информацию на категории «работа няней» и «вызов няни», затем заполнил таблицу информацией, просуммировал по колонкам общее количество часов, которое каждый из членов кооператива «просидел нянькой», а по строкам таблицы просуммировал общее количество часов, в течение которых каждый из них вынужден был прибегать к услугам приходящей няни. Эти формы представления условия задачи приведены в табл. 9.1 и 9.2.
Таблица 9 1.Использование таблицы для наглядного представления информации в задаче о кооперативе по присмотру за детьми
Таблица 9.2. Альтернативный вариант использования таблицы для наглядного представления информации в задаче о кооперативе по присмотру за детьми
Задача о кооперативе по уходу за детьми продемонстрировала, что существует несколько способов представления исходной информации. Попробуйте сами предложить различные наглядные представления задач, которые встретятся вам в этой главе. Правильное представление задачи содержит всю существенную информацию, которая представлена так, что может быть легко понята и усвоена. Кроме того, правильное представление подсказывает путь к решению задачи.
Попытайтесь построить иерархическое дерево
Иерархические деревья - это тип разветвленных диаграмм. Наиболее часто они применяются, когда надо математически оценить вероятность случайных исходов. (См. главу 4 об использовании древовидных диаграмм в решении задач типа «если… то…» и главу 7 об использовании дерева решений в расчетах вероятностей.) Иерархические деревья или древовидные диаграммы могут оказаться полезными при решении задач и принятии решений. В таком контексте они называются деревом решений. (Как отмечалось ранее в этой главе, различие между решением задачи и принятием решения несколько искусственно, поскольку они тесно взаимосвязаны.)
Если задача, над которой вы работаете, слишком сложна и каждый возможный путь решения разветвляется на дополнительные пути, то следует обратиться к помощи иерархического дерева, или древовидной диаграммы.
Вот, например, классическая задача, впервые предложенная Дункером (Dun-cker, 1945). Хотя предлагаемая в ней проблема является медицинской, никаких специальных знаний для ее решения не потребуется.
У пациента неоперабельная опухоль в желудке Задача состоит в том, чтобы придумать способ избавления от этой опухоли с помощью рентгеновских лучей, при котором не будут повреждены здоровые ткани, окружающие опухоль со всех сторон
Остановитесь на несколько минут и подумайте, какой путь вы выбрали бы для решения этой задачи.
Большинство людей, занятых решением задачи Дункера (Duncker, 1945), продвигались к цели в несколько этапов. Хотя были опробованы различные решения, лучшим из них оказалось применение нескольких слабых лучей, каждый из которых проникал в тело снаружи со своей, отличной от других позиции - при этом все лучи фокусировались и собирались воедино в месте расположения опухоли. Таким образом, лучи слабой интенсивности не наносят вреда здоровым тканям, а опухоль при этом подвергается интенсивному лучевому воздействию. Такой подход пришел в голову после перебора различных способов решений, которые подразумевали резкий рост интенсивности лучей в районе расположения опухоли.
Одна из предпринятых попыток поиска путей решения задачи с помощью иерархического дерева проиллюстрирована на рис. 9.8. Заметьте, что цель обязательно располагается в вершине дерева. Общие стратегии перечисляются одним уровнем ниже цели, наиболее характерные пути, определяющие каждую стратегию, - еще одним уровнем ниже.
В частности, древовидные диаграммы оказываются весьма полезными, если исходная информация сама по себе имеет иерархическую структуру. Например, классификация всех живых организмов выстроена биологами в иерархическую схему. Если вы спросите ребенка, является ли пчела животным, он, вероятно ответит: «Нет, поскольку это насекомое». Этот вопрос можно ему разъяснить, если нарисовать биологическое классификационное дерево, пример которого приведен на рис. 9.9.
Другой пример использования древовидных диаграмм для решения задач - это применение хорошо известного генеалогического дерева. Занимающиеся вопросами недвижимости юристы, которые часто сталкиваются с запутанным клубком родственных связей, должны уметь определять степень родства всех членов семьи, чтобы контролировать выполнение условий завещаний и уплату налогов на имущество.
Рис. 9.8. Диаграмма в виде иерархического дерева, иллюстрирующая одну из попыток решения сформулированной Дункером задачи рентгеновского облучения (Duncker, 1945).
Рис. 9.9. Диаграмма в виде иерархического дерева, которая поможет ответить на вопрос:
«Являются ли пчелы животными?»
Многочисленные отчимы и мачехи, сожители, пасынки, падчерицы, сводные братья и сестры, незаконнорожденные дети могут превратить сложный вопрос наследства в сущий правовой кошмар. Аккуратное построение генеалогического дерева, которое разместит каждого родственника на соответствующей ветке, является просто бесценным средством решения запутанных задач наследования.
Постройте матрицу
Матрица - это расположение фактов или чисел в прямоугольном порядке. На самом деле это просто более замысловатое слово для таблицы. Когда исходные данные в задаче могут быть разбиты на отдельные категории, матрица может оказаться удобным способом для их представления. Рассмотрим задачу, сформулированную Уимби и Лоххедом (Whimbey amp; Lochhead, 1982):
Трое молодых людей - Фред, Эд и Тед - женились на Джоан, Салли и Викки (не обязательно в таком порядке). Джоан, будучи сестрой Эда, живет в Детройте. Фред не любит животных. Эд весит больше, чем муж Викки. А у мужа Салли есть хобби: разводить сиамских котов. Фред тратит на регулярные поездки от своего дома в Энн-Эрбор до работы в Детройте свыше 200 часов в год. Определите, кто на ком женат (р. 67).
Каков тип исходных данных в этой задаче? Данные касаются мужей и жен. Постройте матрицу 3 х 3 и заполните ее, насколько возможно, в соответствии с полученной информацией:
Поскольку Джоан является сестрой Эда, она не может быть его женой, поэтому впишите «НЕТ» в ячейку матрицы Джоан-Эд. Пропустите на время следующие два предложения и остановитесь на фразе, что Эд весит больше мужа Викки. Это значит, что Эд не является мужем Викки. Эд должен быть женат на Салли. Матрица принимает вид:
Перечитайте задачу и попробуйте найти еще ключи к решению. Нашли что-нибудь важное? Фред живет в Энн-Эрбор, а Джоан живет в Детройте; следовательно, можно предположить, что они не являются мужем и женой. Поскольку Фред не женат на Джоан и Салли, он должен быть мужем Викки. Кто же остается для Теда? Женой Теда должна быть Джоан.
Заполненная матрица выглядит так:
Возьмем еще один пример. Эта задача взята из прекрасной книги Филлипса (Phillips, 1961) под названием «Мои любимые загадки и головоломки». Наверное, она вам покажется проще, так как вы уже познакомились с техникой решения:
«Все мои четыре внучки - высокообразованные девушки», - заявил Кен Чезабл с явным удовольствием. «Каждая из них, - продолжил он, - играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из европейских языков, причем так же хорошо, если не лучше, как человек, для которого этот язык родной».
«На чем играет Мэри?» - спросил кто-то.
«На виолончели».
«А кто играет на скрипке?»
«Понимаете, - сказал Чезабл, - я постоянно забываю. О Господи, увы! Но я знаю, что это как раз та, которая говорит по-французски».
Кроме этого, мне удалось выудить из Кена только отрицания. Я узнал, что девушку, которая играет на органе, зовут не Валерия; ту, которая говорит по-немецки, зовут не Лорна; и что Мэри не знает итальянского. Антея не играет на скрипке и не говорит по-испански. Валерия не знает французского; Лорна не играет на арфе, а та, что играет на органе, не говорит по-итальянски.
На чем играет и какой язык знает Валерия?
Теперь остановитесь и поразмышляйте над этой задачей. Не продолжайте, пока действительно не продумаете ее.
Вам следует начать с осознания того, что исходная информация делится на категории, вследствие чего самым удобным представлением условий задачи будет матрица. Имеются четыре внучки, четыре музыкальных инструмента и четыре языка. Можно построить такую матрицу:
