Шонфелд (Shoenfeld, 1979) заметил, что многие математики и ученые при решении стоящих перед ними задач прибегают к определенным стратегиям и правилам. Многие из них уверены, что если бы студенты приобрели некоторые базовые навыки, они бы решали задачи с большим успехом. Кроме того, исследователи обнаружили, что обучение, направленное на приобретение соответствующих навыков, может повысить способность человека решать возникающие задачи (напр., Klein, Weizenfeld 1978; Wickelgren, 1974). Приведенные ниже стратегии или руководства по решению задач можно рассматривать как способы планирования решения.
Анализ целей и средств
Чаще всего продвижение к цели не происходит по прямой вымощенной дороге. Если цель не может быть достигнута сразу, нередко приходится идти обходными путями или разбивать задачу на более мелкие части - так называемые подзадачи, каждая из которых имеет свою цель, или подцель.
Как и большинство стратегий решения задач, выбор и использование подцелей требует планирования. Процедура, согласно которой люди определяют подцели и используют их достижение для продвижения к основной цели, называется анализом целей и средств. Он является одним из основных, очень мощных средств решения задач. Сначала задача делится на подцели. Затем человек начинает действовать, чтобы достигнуть определенной подцели. Таким образом, с каждой отдельной победой он будет все ближе и ближе подходить к главной цели. Чтобы эта идея стала более понятной, давайте обратимся к примерам.
Первым шагом в анализе целей и средств является перечисление целей, которые можно поставить в данной задаче, и выбор наиболее перспективной из них. Предположим, что во время игры в шахматы вы поставили перед собой удачную подцель - поставить шах королю противника. Целью, естественно, является победа в игре, но для того, чтобы ее достичь, необходимо постоянно двигаться в направлении подцелей. Шах королю противника - это та ближайшая цель, в направлении которой вы продвигаетесь. Теперь вам необходимо выбрать средства для достижения данной цели - отсюда и термин анализ целей и средств. Чтобы достичь поставленной подцели, определите, какова текущая позиция ваших фигур. Затем определите разницу между той позицией, которую они занимают, и той, которой вы бы хотели достичь. Вам следует выбирать ходы, которые будут уменьшать эту разницу и позволят поставить шах королю противника. Предположим, этого нельзя добиться за один ход, тогда анализ целей и средств следует применить снова, на этот раз выбрав менее крупную подцель - возможно, это будет просто отдельный ход, направленный против какой-либо фигуры противника. Постоянное повторение этих двух процессов - выбора подцелей и сокращения расстояния до них - позволит вам продвигаться в направлении главной цели.
Любимая задача психологов, которая может служить демонстрацией анализа целей и средств, - это задача Ханойской башни. Название этой головоломке дала одна интересная легенда. Предположим, что имеются три колышка и 64 диска, каждый из которых имеет свой диаметр. Все диски нанизаны на один из колышков в порядке убывания диаметра. Для кого-то может быть удобнее представить диски в виде 64 пышек различных размеров, нанизанных одна за другой на колышек. Задача состоит в том, чтобы переместить диски с первого колышка на третий, используя средний для промежуточных действий. Правила переноса дисков заключаются в следующем: можно переносить только один диск за один раз и нельзя ставить больший диск на меньший. Легенда, связанная с задачей, гласит, что в одном монастыре вблизи Ханоя монахи заняты решением этой головоломки, а когда они закончат, настанет конец света. Даже если бы легенда оказалась правдой, у вас нет повода для беспокойства, поскольку, для того чтобы выполнить это задание, монахам понадобится примерно один триллион лет, если при этом они будут делать один ход в секунду.
Поскольку вы вряд ли собираетесь потратить столько времени на решение задачи Ханойской башни, вы можете попробовать решить ее упрощенную версию, используя только три диска. Вы легко можете приступить к решению, воспользовавшись тремя монетами различного диаметра (хорошо подойдут для этого монеты в 5 рублей, 2 рубля и 1 рубль) и тремя небольшими листочками бумаги. Сложите монеты пирамидкой на один лист бумаги так, чтобы монета наибольшего диаметра оказалась внизу, а наименьшего - наверху. Задача состоит в том, чтобы переместить монеты с первого листа бумаги на третий - при этом они должны быть расположены в том же порядке. За один прием можно брать только одну монету. Для решения задачи могут быть использованы все три листка бумаги. Записывайте все шаги, которые вы предпринимаете для решения этой задачи. Начальное и конечное положение монет показано на рис. 9.11.
Рис. 9.11. Начальное и конечное положение монет в задаче Ханойской башни. Для решения этой задачи используйте стратегию анализа целей и средств
При анализе целей и средств задачи Ханойской башни определяется одна из очевидных подцелей - положить самую большую по диаметру монету в 5 рублей на третий лист бумаги. Этого нельзя сделать сразу, так как на ней лежат монеты в 2 рубля и 1 рубль - следовательно, надо рассмотреть вторую подцель. Она заключается в создании ситуации, когда двухрублевая монета лежит на пятирублевой. Эта подцель будет достигнута, если монета в 1 рубль будет лежать на втором листе бумаги, а монета в 5 рублей на третьем. Эта подцель не может быть достигнута, поскольку первым можно перемещать только рубль. Таким образом, последовательно рассматриваются подцели, определяющие конец каждого этапа, и действия, направленные на их достижение. Окончательное решение со всеми необходимыми ходами показано на рис. 9.12. Если вы попробуете решить эту задачу не с тремя монетами, а с четырьмя или пятью, то убедитесь, что она значительно усложнится, хотя стратегия решения останется прежней.
Рис. 9.12. Решение задачи Ханойской башни.
Обратите внимание, как достижение поставленных подцелей обеспечивает продвижение к основной цели.
Решение с конца
Анализ целей и средств является примером прямой стратегии - все планируемые действия ориентированы на приближение к подцели и, в конечном итоге, к основной цели. Иногда полезнее оказывается стратегия планирования операций решения с конца, которые обеспечивают движение от конечной цели назад - к текущему или исходному положению. Простейшим примером такой стратегии может служить игра в обожаемые детьми лабиринты, нарисованные ла бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша.
Многие из этих лабиринтов содержат несколько возможных путей, отходящих от начальной точки, и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Даже маленькие дети понимают, что они смогут ускорить решение такой задачки-лабиринта, если пойдут в обратном направлении, начав движение с конечной точки и прорисовывая путь к началу лабиринта. Пример такого лабиринта приведен на рис. 9.13.
Стратегия решения с конца очень удобна, если от конечной цели ведет меньше путей, чем из исходного положения. Разумеется, эта стратегия может быть применена не только для прохождения лабиринтов. Рассмотрим такую задачу: «Площадь, которую покрывают водяные лилии на одном из озер, удваивается каждые двадцать четыре часа. С того момента, как появилась первая лилия, до того, когда лилии полностью покрыли поверхность озера, прошло шестьдесят дней. Когда озеро было покрыто наполовину?» (Fixx, 1978, р. 50).
Единственным путем решения этой задачи является применение стратегии решения с конца. Можете ли вы решить ее, пользуясь этой подсказкой? Если озеро полностью было покрыто лилиями на 60-й день, а площадь, которую покрывают лилии, удваивалась каждые сутки, какая часть озера была закрыта в 59-й день? Ответ: половина. Таким образом, пользуясь обратным ходом, мы легко решили эту задачу. Прямая стратегия решения этой задачи наверняка завела бы нас в тупик.
Иногда оказывается эффективной комбинация прямой стратегии и стратегии решения с конца. Если вы столкнулись с геометрической или тригонометрической задачей на доказательство, то, вполне вероятно, прибегнув к комбинации этих двух стратегий, вы успешно с ней справитесь. Вы можете начать с конечного выражения, преобразуя его до какой-то определенной стадии, затем последовательно переходить от преобразования этого выражения к преобразованию исходного выражения и наоборот - до тех пор, пока они не совпадут на каком-то промежуточном этапе.
Рис. 9.13. Стратегия решения с конца удобна, когда из конечной точки ведет меньше путей, чем из исходного положения.
