К сожалению, стараниям Римана решить эту задачу неуклонно препятствовала мучительная бедность. Его успехи не приносили денег. В 1857 г. Риман перенес еще один нервный срыв. По прошествии многих лет его наконец назначили в Гёттингене на завидный пост, который ранее занимал Гаусс, но было уже слишком поздно. Жизнь в нужде подорвала здоровье Римана, и, подобно многим выдающимся математикам в истории человечества, он преждевременно скончался от истощения в возрасте 39 лет, не успев закончить свою геометрическую теорию гравитации, электричества и магнетизма.
Итак, Риман не просто заложил основы математики гиперпространства. Оглядываясь назад, мы видим, что Риман предвидел некоторые важные проблемы современной физики, а именно:
1. Он воспользовался многомерным пространством, чтобы упростить законы природы; т. е. для него электричество, магнетизм и гравитация были просто следствиями, вызванными деформацией, или искривлением гиперпространства.
2. Он предвидел появление концепции «червоточин». Римановы разрезы — простейшие примеры многосвязных пространств.
3. Он отображал гравитацию как поле. Поскольку метрический тензор описывает силу гравитации (посредством кривизны) в каждой точке пространства, то применительно к гравитации он представляет собой именно концепцию фарадеева поля.
Риман не сумел завершить свой труд, посвященный силовым полям, по той причине, что ему недоставало уравнений поля, которым подчиняются электричество, магнетизм и гравитация. Иными словами, он не знал, как именно должна быть скомкана Вселенная, чтобы создать силу гравитации. Он пытался сформулировать уравнения поля для электричества и магнетизма, но умер раньше, чем справился с этой задачей. К моменту смерти он так и не узнал способа вычислить степень искривления, необходимую для описания этих взаимодействий. Решающие открытия в этой сфере остались Максвеллу и Эйнштейну.
Жизнь в пространственной складке
Чары наконец рассеялись.
За свою короткую жизнь Риман успел снять заклятие, наложенное Евклидом за две тысячи лет до того. Метрический тензор Римана стал оружием, с помощью которого молодые математики могли бросить вызов «беотийцам», улюлюкающим при любом упоминании о многомерности. Тем, кто последовал по стопам Римана, стало легче высказываться о незримых мирах.
Вскоре начались исследования по всей Европе. Видные ученые взялись за популяризацию идеи для широкой публики. Герман фон Гельмгольц, вероятно, самый знаменитый немецкий физик того поколения, пораженный трудами Римана, много и подробно писал, обращаясь к широкой аудитории и рассказывая о математике разумных существ, живущих на шаре или сфере.
Согласно Гельмгольцу, эти существа, наделенные мышлением под стать нашему, независимо от нас обнаруживают, что все евклидовы постулаты и теоремы бесполезны. К примеру, на сфере сумма углов треугольника не составляет 180°. «Книжные черви», о которых первым заговорил Гаусс, теперь населяли двумерные сферы Гельмгольца. Гельмгольц писал, что «аксиомы геометрии должны меняться в зависимости от характера пространства, населенного существами, мыслительные способности которых соответствуют нашим»[17]. Но в своих «Популярных лекциях о научных предметах» (1881 г.) Гельмгольц предупреждает читателей, что визуализировать четвертое измерение мы не можем. Он пишет, что «подобное представление так же невозможно, как невозможно рожденному слепым представить себе, что такое разные цвета»[18].
Некоторые ученые, восхищенные элегантностью решения Римана, пытались найти физическое применение столь мощному инструменту[19]. Одни исследовали его применительно к высшим измерениям, другие обращались к более практичным и приземленным вопросам: например, как едят двумерные существа. Чтобы двумерные люди Гаусса могли питаться, их рты должны быть обращены вбок. Но если мы нарисуем их пищеварительный тракт, то заметим, что он полностью рассекает их тело (рис. 2.5). Таким образом, в процессе еды их тела разделяются на две части. В сущности, любая трубка, соединяющая два отверстия в их теле, будет делить их на две части, никак не скрепленные друг с другом. В результате мы встаем перед трудным выбором: либо эти люди едят так, как мы, и распадаются надвое, либо подчиняются другим законам биологии.
Рис. 2.5. Двумерное существо не может питаться. Пищеварительный тракт неизбежно делит его на две обособленные части, в итоге существо распадается.
К сожалению, передовая риманова математика опережала сравнительно отсталую физику XIX в. Физической основы, которая направляла бы дальнейшие исследования, еще не существовало. Лишь в следующем веке физики догнали математиков. Но это не помешало ученым XIX в. строить бесконечные догадки о том, как выглядят существа из четвертого измерения. Вскоре они осознали, что жители четвертого измерения должны обладать почти божественными способностями.
Быть богом
Представьте, что вы наделены способностью проходить сквозь стены.
Вам больше незачем затрудняться, открывая двери: можно пройти прямо сквозь них. Незачем обходить вокруг зданий: можно войти в них прямо сквозь стены и опоры, пройти насквозь и выйти через заднюю стену. Незачем и объезжать горы, если можно двинуться через них напрямик. Проголодавшись, можно просто протянуть руку сквозь дверцу холодильника, не открывая его. Даже если вы забудете ключи в машине и захлопнете дверцу, то все равно сможете пройти сквозь нее и сесть за руль.
Представьте, что в ваших силах исчезать и появляться по своему желанию. Вместо того, чтобы проделывать весь путь до школы или до работы, можно просто исчезнуть дома и вновь материализоваться уже в классе или в офисе. Не нужен самолет, чтобы побывать в отдаленных уголках, — можно просто исчезнуть и вновь материализоваться, где захочется. В час пик незачем торчать в пробке — можно раствориться в воздухе вместе с машиной и снова материализоваться в пункте назначения.
Представьте, что у вас рентгеновский взгляд. Вы издалека способны видеть места катастроф. Исчезнув и вновь материализовавшись на месте любой такой катастрофы, вы увидите, где именно находятся пострадавшие, даже если они погребены под обломками.
Представьте, что вы способны проникнуть внутрь какого-либо предмета, не открывая его. Например, извлечь дольки из апельсина, не очищая его и не разрезая его. Вас будут восхвалять как виртуозного хирурга, которому не надо даже разрезать кожу, чтобы провести операцию на внутренних органах, в итоге значительно снижается не только боль, но и риск инфекции. Вам достаточно просто проникнуть внутрь организма пациента, пройти непосредственно сквозь кожу и выполнить сложную операцию.
Представьте, как распорядился бы всеми этими возможностями преступник. Он мог бы проникнуть даже в самый неприступный банк. Мог бы увидеть ценности и деньги за массивными дверями сейфа, попасть внутрь и забрать все, что захочет. А потом преспокойно уйти, несмотря на простреливающие его насквозь пули охранников. Преступника с такими способностями не удержала бы ни одна тюрьма.
Скрывать от нас что-либо было бы бесполезно. Никто не сумел бы утаить от нас никакие сокровища. Нас не остановили бы никакие препятствия. Мы творили бы чудеса, демонстрировали мастерство, недоступное пониманию простых смертных. Мы сделались бы всемогущими.
Какое существо может обладать такой божественной силой? Ответ: существо из многомерного мира. Разумеется, все его подвиги недоступны тому, кто живет в мире трех измерений. Для нас стены непроницаемы, а тюремные решетки нерушимы. Попытка пройти сквозь стену завершится острой болью и разбитым в кровь носом. Но для обитателя четырехмерного мира все перечисленное — игра.
Для того чтобы понять, как можно совершить все эти удивительные трюки, вернемся к вымышленным двумерным существам Гаусса, поселив их на двумерной столешнице. Для того чтобы посадить преступника в тюрьму, флатландцам достаточно очертить вокруг него круг. Куда бы ни кинулся преступник, везде он будет натыкаться на непреодолимое препятствие. Но нам проще простого вызволить этого узника из его темницы. Мы можем протянуть руку, схватить флатландца, отделить его от двумерного мира и перенести на другое место (рис. 2.6). Этот подвиг, совершенно заурядный в трех измерениях, выглядит фантастикой в двумерном мире.
Рис. 2.6. Во Флатландии «тюрьма» — круг, описанный вокруг заключенного. В двух измерениях бегство из этого круга невозможно. Но трехмерный человек может перенести флатландца из тюрьмы в третье измерение. Тюремщику наверняка покажется, что заключенный таинственным образом растворился в воздухе.
Тюремщик увидит, что заключенный вдруг исчез из надежной, неприступной тюрьмы, растворившись в воздухе. А потом так же внезапно этот заключенный возникнет в другом месте. Если объяснить тюремщику, что заключенный был «поднят вверх», за пределы Флатландии, он не поймет, о чем речь. В словаре флатландцев нет понятия «вверх», представить себе, что это такое, они не в силах.
