Через несколько часов он наконец позвал меня и спросил, стану ли я дружить с тем, кто может ни с того ни с сего обидеть собаку или кошку. Само собой разумеется, не стану. А приду ли я на помощь другу, если он окажется в беде?
Что за вопрос! Конечно, приду! Никто не оставит друга в беде. Это всем ясно и не требует никаких доказательств!
- Вот, вот, вот! - обрадовался капитан. - В жизни так и объясняют значение слова "аксиома". Аксиома - то, что само собой разумеется и не требует доказательств. Но математики определяют аксиому несколько иначе. Учёные - народ недоверчивый, осторожный... Вместо "НЕ ТРЕБУЕТ доказательств" они говорят: "Аксиома - это то, что мы ПРИНИМАЕМ без доказательств".
- Что в лоб, что по лбу! Одно и то же!
- Ошибаешься, - возразил капитан, - совсем не одно и то же. По мнению математиков, аксиома не то что бы не требует доказательств, а её невозможно доказать. Потому приходится принимать её на веру.
Я спросил: как учёные придумывают эти аксиомы? Оказалось, они их не придумывают, а принимают после долгих наблюдений и опытов.
- Всякая наука начинается с аксиом, - заключил капитан. Так вот почему мы начали рейс из бухты А! Всё всегда начинается с начала!
Я спросил капитана: какую он знает самую простую математическую аксиому? Он ответил, что все аксиомы простые, и, в свою очередь, пожелал узнать, сколько, по-моему, прямых линий можно провести через две точки. Я догадался, что, наверное, не больше одной.
- Правильно! То, что ты сказал, и есть математическая аксиома, похвалил меня капитан. (Люблю, когда меня хвалят!)
- Теперь уж вовек не забуду, что между двумя точками можно провести только одну прямую! - обрадовался я. Только рано. Потому что тут снова появился штурман Игрек и заявил, что я сказал чепуху, что между двумя точками можно провести не одну, а сколько угодно прямых. Он взял лист бумаги, поставил две точки, а затем провёл между ними штук пятнадцать прямых! Оказывается, надо говорить не "МЕЖДУ двумя точками", а "ЧЕРЕЗ две точки". Вот как важно подбирать нужные слова, если хочешь, чтобы тебя правильно поняли!
ПРАВДИВАЯ ЛЕГЕНДА
2 нуляля
У меня появился друг - младший кок. Его зовут Пи. Утром мы с ним поднялись на палубу и увидели маленький треугольный островок. У него три берега: один длиною в три метра, другой - в четыре, третий - в пять.
Капитан сказал, что это особенный треугольник. Он - прямоугольный, потому что один из трёх его углов прямой.
- А другие кривые? - засмеялся я.
- Кит знает что ты мелешь! - возмутился капитан. - Углы бывают прямые, острые и тупые. (При слове "тупые" он выразительно посмотрел на меня.) Острый угол всегда меньше прямого, а тупой - больше. Углы принято измерять в градусах.
Я вспомнил, что температуру тоже измеряют в градусах, - этак легко их спутать. Но капитан сказал, что никакой путаницы быть не может. Одно дело градусы температуры, другое - градусы угловые. Слово "градус" в переводе с латинского означает "ступень" или "шаг". Когда у больного повышается температура, ртуть в градуснике поднимается вверх по шкале, как по ступенькам лестницы. А вот стрелки часов - те шагают по угловым градусам. Например, секундная стрелка за один полный оборот, то есть за 60 секунд, отмеряет угол в 360 градусов. Значит, за одну секунду она пробегает 6 градусов (ведь 360:60 = 6). За это же время минутная стрелка отмеряет угол в 60 раз меньший, ведь в минуте 60 секунд. Ну, а часовая стрелка движется ещё медленнее - в 12 раз!
Капитан вынул часы.
- Ровно 3 часа, - сказал он. - Как видите, минутная и часовая стрелки сейчас взаимно перпендикулярны. Это значит, что угол между ними - 90 градусов. Такой угол и называется прямым. Берега этого острова, образующие прямой угол, называются катетами, а берег, расположенный против прямого угла, - гипотенузой.
Тут штурман объявил, что хочет рассказать нам одну правдивую легенду об этом острове. Я сказал, что правдивых легенд не бывает, потому что легенда - это выдумка. Капитан, однако, заметил, что не всегда.
- Когда-то на этом острове, - начал штурман, - было всего-навсего три жителя: мама и два её сына. Маму звали Гипотенузой, а обоих сыновей Катетами. Но чтобы не было путаницы, старшего называли Катетом большим, младшего - Катетом маленьким.
Все трое очень любили плавать. А чтобы дети не заплывали чересчур далеко, мама взяла канат и отгородила им в море квадратный участок возле самого длинного берега, что в пять метров длиной. (Точь-в-точь как огораживают ринг для бокса, только здесь четвёртой стороной был сам берег.) Каждая из четырёх сторон этого участка была равна пяти метрам, и, стало быть, площадь для плавания была вполне подходящая - 25 квадратных метров. (Ведь для того чтобы вычислить площадь квадрата или любого прямоугольника, надо перемножить длины двух его сторон. А пятью пять - двадцать пять.)
Однажды мама отправилась путешествовать, а сыновей оставила дома. Те сразу стали ссориться. Нехорошие были Катеты! Каждый говорил, что другой мешает ему плавать стилем брасс. И решили они друг от друга отгородиться разделить плавательный участок на две части. Катет большой немедленно достал новый канат, отметил четыре метра по берегу, столько же на одной стороне прежней канатной ограды и отделил себе лучший участок в 16 квадратных метров (4?4 = 16). А то, что осталось - 9 квадратных метров (25?16 = 9), - отдал брату.
Очень скоро Катет маленький понял, что его обделили, потому что брату достался удобный квадратный бассейн, а ему два каких-то закутка, где ни кролем, ни брассом не развернёшься!
Дело дошло до драки, да хорошо, мама вернулась вовремя. Она отшлёпала обоих, вышвырнула лишние канаты и сказала, что теперь весь этот участок оставляет только для себя, а сыновьям отделила два новых, также квадратных, участка. Один примыкал к берегу, у которого длина 4 метра, другой - к берегу, что в 3 метра.
Так каждый из братьев получил по отдельному огороженному участку для плавания: старший - площадью 16, младший - 9 квадратных метров. И оказалось, что участки обоих братьев по общей площади равны маминому участку:
3 ? 3 + 4 ? 4 = 5 ? 5.
Теперь все купались, не мешая друг другу, а потом шли на берег греться и пить кофе. Вот и вся легенда.
- Легенда легендой, - добавил капитан, - а это замечательное свойство прямоугольного треугольника обнаружил великий математик древней Греции Пифагор. И записал он его так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе любого прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
ДУМАТЬ НАДО, ДУМАТЬ!
3 нуляля
- Внимание! - сказал капитан. - Фрегат идёт вдоль берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: повсюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр - и можно утонуть в море Ошибок. Вот герб берега Точных Доказательств.
Капитан протянул нам памятный значок. На одной его стороне было написано: "Меньше слов - больше смысла", а на обороте - "Требуйте точных и красивых доказательств!"
Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего нельзя доказывать! Здесь не только можно, но и нужно. Но капитан сказал, чтобы я не слишком торопился отделаться от аксиомы. Потому что без аксиомы ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!
- Чего-чего? - переспросил я.
- Те-о-ре-мы! - повторил капитан. - Это слово греческое и означает в переводе "обдумывание". Для того чтобы доказать теорему, надо много думать.
Я сказал, что, наверное, очень трудно доказывать теоремы. Но капитан ответил, что совсем не трудно, если всё время думать логически, то есть рассуждать правильно, последовательно, так, чтобы одна мысль вытекала из другой, а не противоречила ей. Уметь логически рассуждать важно каждому, а математику - особенно.
Я попросил капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два треугольника, оба прямоугольные, - я это понял сразу, потому что не успел ещё забыть легенду про маму-Гипотенузу и братьев-Катетов. Капитан велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами и что вершин у треугольника три. Он их обозначил латинскими буквами. У одного треугольника - большими (А, В. С), у второго - маленькими (а, в, с).
- Эти треугольники замечательны тем, - продолжал капитан, - что как меньшие, так и большие катеты у обоих одинаковой длины. Вот и надо доказать, что при этом треугольники равны между собой.
Я чуть было не брякнул, что это очень просто, но капитан остановил меня.
- Первым делом, - сказал он, - надо определить, что такое равные треугольники. Ведь прежде чем что-либо доказывать, надо знать, что собираешься доказать. Так вот. Если ты возьмёшь два треугольника, наложишь их аккуратно один на другой и они в точности совпадут, то такие треугольники и называются равными.
Я тут же решил вырезать один из нарисованных треугольников, а потом наложить его на другой, но капитан сказал, что это будет не доказательство теоремы, а кит знает что.
