соответствует векторной величине на плоскости. Начало этого вектора находится в точке (0, 0), конец — в точке (2, 7). Следующий вектор расположен в пространстве (очевидно трехмерном):
Начало этого вектора находится в точке (0, 0, 0), конец — в точке с координатами (3,1,3).
Чему равно значение величины, изображаемой этим вектором? Если обозначить рассматриваемый вектор через u->, достаточно будет вычислить:
В математике модуль вектора обозначается |u|. К примеру, модули двух описанных выше векторов равны:
* * *
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В результате изучения матриц и систем линейных уравнений в XVII веке было определено понятие векторного пространства. Не будем останавливаться на нем подробнее, отметим лишь, что с точки зрения математики возможность сложения векторов (то есть выполнения операции u->+ v->) и умножения произвольного числа k на вектор u-> (k·u->) вкупе с соблюдением некоторых свойств позволяет определить векторное пространство как множество векторов, обладающее определенными характеристиками. Векторное пространство является одним из основных понятий в математической биологии. Оно используется в изучении филогенеза, при классификации цепочек ДНК, в экологических моделях, при исследовании метаболизма или восприятия цветов, а также в других областях.
* * *
Если возникает необходимость определить вектор-строку, достаточно применить операцию транспонирования:
(u1 u2 … um).
Далее вы узнаете, как векторы используются в изучении локомоции (перемещения животных) и при анализе нейронных сетей.
Сложение векторов: сокращение мышц и локомоция
Один из самых интересных способов применения векторов — изучение локомоции животных. Кузнечики прыгают, люди могут поднимать тяжести руками, рыбы плавают, птицы летают. Понять механику этих движений помогают операции с векторами.
Если мы рассмотрим движение руки человека, один вектор можно будет сопоставить бицепсу (этот вектор будет обозначать силу сокращения мышц), второй вектор будет обозначать противодействующую силу, третий вектор — указывать вес объекта, который поднимает рука.
Сложение векторов также помогает понять функцию некоторых мускулов. Один из методов сложения векторов — это известное правило параллелограмма. Заключается оно в том, что нужно привести два вектора, сумму которых мы хотим найти, к общему началу. Затем на этих двух векторах нужно построить параллелограмм.
К примеру, если рассмотреть ногу человека и обозначить боковую часть четырехглавой мышцы бедра вектором FL->, а среднюю часть этой мышцы — вектором FM->, сумму этих векторов можно найти по правилу параллелограмма. Иными словами, сумма векторов FL-> + FM-> будет обозначать суммарную силу четырехглавой мышцы F->.
Сумма векторов, соответствующих мышцам ноги, найденная по правилу параллелограмма.
Другой классический пример — сила F->, с которой сокращаются мышцы-сгибатели предплечья. Если представить эту силу в виде вектора, то она будет равна сумме двух других векторов, соответствующих другим мышцам. Один из этих векторов, FU->, перпендикулярен предплечью, второй вектор, FИ->, параллелен предплечью.
Сумма векторов, соответствующих мышцам руки, найденная по правилу параллелограмма.
Если векторов больше двух, их сумму можно найти по правилу многоугольника. Заключается оно в том, что конец каждого вектора совмещается с началом следующего. Суммой исходных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, конец — с концом последнего вектора. Этот метод полезен при вычислении скорости движения корабля, полета птиц, перемещения пловца или рыбы.
В примерах с птицей или рыбой результирующая скорость будет равна сумме всего двух векторов. Но в силу особенностей задачи для сложения векторов используется не правило параллелограмма, а правило многоугольника.
Допустим, что рыба или птица движется в воде или в воздухе со скоростью, обозначаемой вектором VA->, VM-> — скорость течения воды (или ветра). Как следствие, вектор результирующей скорости V-> будет равен сумме векторов VA-> и VM->, определяемой по правилу многоугольника.
Сумма векторов в примере с полетом птицы, найденная по правилу многоугольника.
Достаточно помнить, что во всех подобных примерах, если вы хотите найти результат как вектор-столбец, к примеру F->, V->:
нужно сложить векторы по тому же правилу, что и матрицы, то есть FU-> + FИ->, FL-> + FM-> и VA-> + VM-> соответственно.
Умножение векторов и применение этой операции в нейронных сетях
Помимо сложения, существует множество способов применения других операций над векторами. Так, умножение векторов успешно используется в математических моделях, описывающих наиболее характерные функции мозга.
Когда мы говорили об операциях над матрицами, мы представили модель нейронной сети, основанную на произведении вектора и матрицы:
Нейронную сеть также можно представить в более простом виде:
M·u-> = v->.
В соответствии с вышесказанным, u-> — вектор, представляющий слой входных, или афферентных, нейронов, вектор v-> — слой выходных, или эфферентных нейронов.
М — матрица связей между нейронами этих двух слоев, также известная как матрица памяти. Это название указывает на то, что именно в связях между нейронами, синапсах, мозг хранит всю известную нам информацию.
Эту гипотезу выдвинул испанский исследователь Сантьяго Рамон-и-Кахаль, а позднее развил американский ученый Дональд Хебб. В настоящее время нейробиологи считают, что именно в связях между нейронами фиксируются черты лиц знакомых нам людей, очертания букв, чисел и многие другие образы.
Сантьяго Рамон-и-Кахаль (1852–1934) в лаборатории. Справа изображен один из его рисунков, описывающих нейронные сети.
Следовательно, если мы рассмотрим произвольную строку матрицы М как вектор-строку, описывающий связи между определенным выходным нейроном и всеми входными нейронами, то состояние этого выходного нейрона можно будет вычислить так, как мы объясняли в прошлой главе. Операция над векторами называется скалярным произведением. Рассмотрим два вектора: вектор-строку а-> (исключительно из формальных соображений дополним это обозначение буквой t, что означает «транспонированный») и вектор-столбец Ь->. Скалярное произведение этих двух векторов будет равно:
Выполнив указанные арифметические действия, получим итоговый результат, равный 4. Скалярное произведение, которое также называют внутренним произведением векторов, — это число, указывающее длину проекции вектора-строки а-> на вектор Ь->. Если известны длины обоих векторов, |а->| и |Ь->|, а также угол α между ними, то скалярное произведение векторов а->·Ь-> будет равно |а->|·|Ь->|·cos α. Этот результат представляет для нас особый интерес, если учесть, что |а->|·cos α — это значение проекции вектора а-> на вектор Ь->.
Скалярное произведение векторов а->·Ь->
* * *
ЧЕМУ РАВНА РАБОТА, КОГДА МЫ ТЯНЕМ ИЛИ ТОЛКАЕМ ГРУЗ?
Вычисление работы, которую мы совершаем, когда тянем груз по земле, — еще один пример, когда используется скалярное произведение векторов. Согласно законам классической механики, работа определяется как скалярное произведение действующей на предмет силы F-> и перемещения D->. Иными словами, если векторы F-> и D-> расположены под углом друг к другу, работа А будет равна |F|·|D|·cos α. Обратите внимание, что при неизменной силе F-> работа будет изменяться в зависимости от угла между векторами. В самом деле, если векторы F-> и D-> имеют одинаковое направление, угол между ними равен 0, и работа будет максимальной, так как косинус 0 равен 1. Нетрудно видеть, что при α > 0° работа будет меньше максимума.
