(а + i) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i.
К примеру, (2 + 5i) + (3 — i) = (2 + 3) + (5–1)i = 5 + 4i.
Вычитание — операция, обратная сложению, следовательно, разность комплексных чисел a + bi и с + di рассчитывается так:
(а + i) + (с + di) = (а — с) + (b — d)i.
К примеру, (1 + 3i) — (4 + 2i) = (1–4) + (3–2)i = —3 + i.
Умножение и деление комплексных чисел
Также для комплексных чисел определены умножение и деление.
Произведение двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:
(а + bi)·(с + di) = (ас — bd) + (ad + bc)i.
Обратите внимание, что результат умножения можно получить следующим, более понятным способом:
(а + bi)·(с + di) = а·с + а·d·i + b·с·i + b·d·i2.
Напомним, что i2 = —1. Имеем:
a·c + a·d·i + b·i·c — b·d.
Приведем подобные слагаемые:
(ас — bd) + (ad + bc)i.
К примеру, (2 + 6i)·(8 + 2i) = (2·8–6·2) + (2·2 + 6·8)i = 4 + 52i.
Частное двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:
Например,
И вновь обратите внимание, что частное двух комплексных чисел — это результат выполнения следующей последовательности действий:
Приведем подобные слагаемые:
Формула
Эйлера, одно из прекраснейших математических выражений
Комплексные числа полезны не только для графического изображения фракталов. Их постоянно используют инженеры при работе с электрическими цепями. Так, мощность бытовой техники выражается вещественными числами, мощность промышленных устройств — комплексными. Изучение биологических циклов, которые переживает человек, и анализ колебаний (к примеру, колебаний тела, закрепленного на пружине) в физике отчасти схожи: для решения этих задач используются комплексные числа. По этой причине те, кто знаком с комплексными числами, обычно используют формулу, которая считается одной из самых красивых и полезных в математике. Это формула Эйлера, связывающая мнимую единицу i, степень числа е и тригонометрические функции синуса и косинуса:
eαi = cos(α) + i sin(α)
Нетрудно показать, что если мы изобразим окружность единичного радиуса на комплексной плоскости, то на вещественной оси X будет откладываться косинус угла α, на мнимой оси Y — синус угла α. По-видимому, эта формула была открыта несколькими учеными независимо друг от друга в XVIII веке. В 1748 году Эйлер получил ее в результате преобразований степенного ряда, однако никто не смог представить эту формулу на комплексной плоскости. Столь простая идея представления комплексных чисел в декартовых координатах появилась позднее, примерно в 1800 году, благодаря Жану Роберу Аргану. Именно тогда математики впервые смогли увидеть графическое отображение одной из прекраснейших формул математики.
Библиография
BATSCHELET, Е., Introduction to Mathematics for Life Scientists, Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 1971.
BAZIN, M. (ed.), Mathematics in Microbiology, Londres, Academic Press, 1983.
BRIGGS, J., PEAT F. D., Turbulent Mirror. An Ilustrated Guide to the Chaos Theory and the Science of Wholeness, Nueva York, Harper & Row Publisher, 1989.
LAHOZ-BELTRA, R., Bioinformática. Simulatión, vida artificial e inteligencia artificial, Madrid, Ediciones Díaz de Santos, 2004.
—: ¿Jega Darwin a los dados? Madrid, Nivola, 2008.
—: Turing. Del primer ordenador a la inteligencia artificial, 2a editión, Madrid, Nivola, 2009.
MARTINEZ CALVO, M.C., PÉREZ DE VARGAS, A., Métodos matemáticos en biología, Madrid, Centro de Estudios Ramón Areces, 1993.
MARTINEZ CALVO, M.C., FERNÁNDEZ BERMEJO, E., GONZÁLEZ MANTEGIA, M.T., LAHOZ-BELTRA, R., PERALES GRAVAN, C., Matemáticas básicas para biólogos, CD-ROM. Innovación Educativa (ISBN 84-7491-786-7), Madrid, Editorial Complutense, 2005.
RlETMAN, E., Exploring the Geometry of Nature. Computer Modeling of Chaos, Fractals, Cellular Automata and Neural Networks, Nueva York, Windcrest, 1989.
* * *
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 28
Рафаэль Лаос-Бельтра
Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не принимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:
8-800-200-02-01
Телефон горячей линии для читателей Москвы:
т 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30, «Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:
0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»
Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 11.06.2014
Дата поступления в продажу на территории России: 29.07.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 34 000 экз.
© Rafael Lahoz-Beltra, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0723-6 (т. 28)
Примечания
1
Для читателя более привычным может оказаться неправильный вариант — Вольтерра. — Примеч. ред.
