Второй трактат — небольшой и не имеет заглавия. В начале его сказано только: «Этот трактат — Абу-ль-Фатха Омара ибн Ибрахима аль-Хайями». Омар приводит здесь классификацию из 25 видов линейных, квадратных и кубических уравнений. Причем указывает, что 11 из этих 25 видов могут быть решены при помощи 2-й книги «Начал» Евклида, а остальные 14 — только при помощи конических сечений или специальных инструментов. Хайяму известны решения только четырех из них, принадлежащие его предшественникам. В своей небольшой работе Хайям критикует «тех, кто хвастлив, тщеславен и бессилен», чьи «души не вмещают ничего, кроме разве лишь понимания чего-нибудь незначительного из наук. Однако, когда они постигают это, им кажется, что это количество и есть то, что заключают в себе науки и что составляет их».
Я знаю этот вид напыщенных ослов:Пусты как барабан, а сколько громких слов!Они — рабы имен. Составь себе лишь имя,И ползать пред тобой любой из них готов.
В конце трактата говорится: «Если бы не благородство собрания, да будет это благородство вечным, и не достоинство спрашивающего, да сделает Аллах вечной свою поддержку ему, я был бы в большом отдалении от этого, так как мое внимание ограничено тем, что для меня важнее этих примеров и на что расходуются все мои силы». Полемический тон этих высказываний достаточно очевиден. Вероятно, даже занимаясь математикой, Омар Хайям отнюдь не представлял замкнутого в себе, отрешенного от мира ученого. Судя по всему, уже в тот период исследования молодого ученого в области алгебры приводили к дискуссиям по более широкому кругу вопросов.
В этом же трактате Хайям писал: «Если мне будет отпущено время и будет сопутствовать успех, то я изложу эти четырнадцать видов со всеми их разновидностями и их частными случаями и различу среди них возможные от невозможных: некоторые из этих видов нуждаются в некоторых условиях, так что правильный трактат должен охватывать многие предпосылки, приносящие большую пользу в началах этого искусства».
Таким «правильным трактатом» стал знаменитый «Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы». Эту алгебраическую работу Хайяма можно разбить на пять частей: введение; решение уравнений первой и второй степени; решение уравнений третьей степени; сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной, и дополнение.
Работа Омара Хайяма стала возможной в результате его глубокого и систематического изучения предшествующего этапа развития этой отрасли математики. Он ищет и ставит те сложные проблемы, которые, по его мнению, не были разрешены наукой до него, что подтверждают его собственные высказывания: «Один из поучительных вопросов, необходимый в разделе философии, называемом математикой, это искусство алгебры и алмукабалы, имеющее своей целью определение неизвестных, как числовых, так и измеримых».
Здесь, вероятно, следует напомнить, что и в средние века математика считалась одним из разделов философии. Философские науки делились на теоретические и практические. Теоретические же, в свою очередь, подразделялись на «высшую науку» (то есть философию в нынешнем смысле), «среднюю науку» — математику и «низшую науку» — физику. В данном случае Хайям называет «измеримой величиной» непрерывную геометрическую величину, то есть линию, поверхность и тело в отличие от дискретного количества — натурального числа.
Далее он пишет: «В нем (то есть в этом искусстве алгебры. — Авт.) встречается необходимость в некоторых очень сложных видах предложений, в решении которых потерпело неудачу большинство этим занимавшихся. Что касается древних, то до нас не дошло сочинение, в котором они рассматривали бы этот вопрос, может быть, они искали решение и изучали этот вопрос, но не смогли преодолеть трудностей, или их исследования не требовали рассмотрения этого вопроса, или, наконец, их труды по этому вопросу не были переведены на наш язык.[7] Я же, напротив, всегда горячо стремился к тому, чтобы исследовать все эти виды и различить среди этих видов возможные и невозможные случаи, основываясь на доказательствах, так как я знал, насколько настоятельна необходимость в них в трудностях задач».
В другом месте трактата Хайям возвращается к этой же мысли, подчеркивая преемственность своей работы от исследований Евклида и Аполлона: «Следует знать, что этот трактат может быть понят только теми, кто хорошо знает книги Евклида „Начала“ и „Данные“, так же как две книги сочинения Аполлония[8] «Конические сечения».
Во введении Хайям пишет: «Я утверждаю, что искусство алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными…, но отмеченные в какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество, или отношение…» Таким образом, предмет алгебры — это неизвестная величина, дискретная (ибо «абсолютное число» означает число натуральное) или же непрерывная (измеримыми величинами Хайям называет линии, поверхности, тела и время). «Отнесение» неизвестных величин к известным есть составление уравнения.
Задачей алгебры, подчеркивает Омар, является определение как числовых, так и геометрических неизвестных. Здесь Хайям отмечает, что математики стран ислама того времени интенсивно занимались поисками числового решения кубического уравнения. О различных видах уравнений третьей степени он пишет: «Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для них, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первые степени, а именно число, вещь и квадрат». Такое решение кубического уравнения было найдено только в начале XVI века, через 400 лет после смерти Хайяма.
Далее Омар Хайям производит классификацию уравнений первых трех степеней. Всего он выделяет 25 форм, из них 14 кубических уравнений, не сводящихся к квадратным или линейным делением на неизвестную или ее квадрат. Значение классификации в том, что применительно к каждой форме подбирается соответствующее построение.
Хайям, впервые в истории математики, заявляет, что уравнения третьей степени, вообще говоря, не решаются при помощи циркуля и линейки. «Доказательство этих видов может быть произведено только при помощи свойств конических сечений». В 1637 году с подобным утверждением вновь выступил Рене Декарт, и только двести лет спустя, в 1837 году, это было строго доказано П.Л. Веицелем.
Основным является третий раздел трактата, где дано построение корней каждой из 14 форм уравнений третьей степени при помощи надлежаще подобранных конических сечений. При этом подбор таких сечений произведен вполне систематически.
Работы Омара Хайяма по алгебре, к сожалению, оказали незначительное воздействие на развитие математики. В Европе, например, его результаты стали известны, по-видимому, тогда, когда они были давно уже превзойдены европейцами. Алгебраический трактат Хайяма впервые упоминается в Европе в 1742 году в предисловии к учебнику дифференциального исчисления Ж. Меермана. По этому поводу Ж. Э. Моитюкла в своей известной «Истории математики», заметив, что арабы пошли дальше квадратных уравнений, говорит, что в Лейдене имеется арабская рукопись, озаглавленная «Алгебра кубических уравнений» или «Решение телесных задач», и что автором ее является Омар бен-Ибрахим. «Весьма жаль, — добавляет Монтюкла, — что никто из знающих арабский не имеет вкуса к математике и никто из владеющих математикой не имеет вкуса к арабской литературе».
Профессор А.П. Юшкевич писал: «Можно жалеть, что книга Хайяма осталась неизвестной европейской математике XV—XVI веков. Насколько раньше поставлен был бы вопрос о числовом решении кубического уравнения, насколько облегчена была бы работа творцов новой высшей алгебры. События сложились по-иному, и европейским ученым пришлось немало потрудиться, чтобы заново пройти тот путь, начало которому проложил задолго до них великий восточный поэт и математик.
Судя по всему, в период пребывания в Мавераннахре Омар Хайям занимался не только чистыми математическими исследованиями, но и выполнял прикладные работы по заказу своих высокопоставленных покровителей. Об этом может свидетельствовать небольшое сочинение Хайяма «Весы мудростей», в котором решается классическая задача Архимеда об определении количества золота и серебра в сплаве, а также точного определения веса драгоценных камней.
Эта работа дошла до наших дней в виде V главы IV книги трактата «Книга о весах мудрости» ученика Омара Хайяма Абу-ль-Фатха Абд ар-Рахмана аль-Хазини, работавшего в Мерве и закончившего свое произведение в 1121 году, то есть еще тогда, когда Хайям был жив. О том, что такая работа действительно принадлежала Хайяму, пишет историк Татави. Он отмечает, что это трактат «о нахождении цены вещей, осыпанных драгоценными камнями, без извлечения из них самих драгоценных камней».
