Ляпуновские показатели, горизонт предсказуемости, циклы этногенеза. Одним из фундаментальных результатов нелинейной динамики является осознание принципиальных ограничений в области получения прогноза даже для простейших механических, физических, химических систем. Такие системы обладают чувствительностью к начальным данным. То есть, рассматривая две близкие траектории'(t)''(t) динамической системы
d/dt = (),'(0) =,''(t) = +, (3)
для множества моделей можно численно проверить, а для некоторых случаев строго доказать, что расстояние между бесконечно близкими вначале траекториями в среднем экспоненциально растет
d(t) = |'(t) -''(t)| ~ ||exp(lt) .
Величина l, называемая ляпуновским показателем, характеризует горизонт предсказуемости – время, на которое можно дать прогноз поведения исследуемой системы. Это ограничение представляется столь же глубоким ограничением, характеризующим наш мир, как невозможность создания вечных двигателей, движения со сверхсветовыми скоростями, бесконечно точного одновременного измерения координаты и импульса микрочастицы.
Рис. 7. Характерный вид проекции хаотического аттрактора в системе небольшой размерности. "Клубок траекторий" выглядит достаточно упорядоченным.
Разумеется, это не означает, что после этого времени мы ничего не знаем о системе. Образно говоря, если предельное множество представляет собой "клубок" в фазовом пространстве (см. рис.7), то мы по-прежнему достоверно знаем, что точка, характеризующая состояние системы, принадлежит этому "клубку", а не уйдет куда-нибудь в другую область фазового пространства. Однако неизвестно, в каком месте "клубка" будет находиться эта точка.
"Горизонт предсказуемости" можно трактовать и иначе – он дает характерный временной масштаб, определяющий, на каких временах будут сказываться изменения начальных данных на величину e. Он показывает, насколько быстро будут "забыты" системой последствия наших действий, если мы можем изменить состояние последней на e. По существу, горизонт прогноза характеризует "память" изучаемого объекта.
Например, по мнению большинства экспертов, тот факт, что для динамической системы, описывающей состояние атмосферы, l ~ 1/неделя, приводит к принципиальной невозможности получить среднесрочный прогноз погоды.
С помощью динамических систем вида (3) описывались и такие процессы, имеющие непосредственное отношение к истории, как гонка вооружений [65, 66]. Модели такого типа, учитывающие экономические возможности страны и стоимость вооружений, хорошо описывают неустойчивость, возникшую в этой области накануне первой мировой войны [65]. С помощью аналогичных моделей анализировались в свое время последствия реализации сверхдержавами программ, связанных с выводом стратегических оборонных вооружений и средств борьбы с ними в космос [66]. В частности, на основе этих моделей было показано, что реализация таких проектов не повысит безопасность сторон. Была установлена связь между ляпуновскими показателями и концепцией стратегической стабильности. Оказалось, что нестабильность определяется наличием положительных ляпуновских показателей и переходом в режим динамического хаоса.
В этой связи возникает принципиальный вопрос, который необходимо было бы выяснить, приступая к моделированию конкретных исторических процессов. Каковы должны быть положительные ляпуновские показатели в моделях таких явлений? Какова "глубина памяти" в исторических событиях? Было бы естественно ожидать, что мы имеем дело с диссипативной динамической системой вида (3), которая "забывает" детали начальных данных и имеет ляпуновские показатели порядка 1/век. Здравый смысл подсказывает, что негоже королю в провале своей политики и неудачах королевства винить реформы прапрадеда. В конце концов, и у него самого, и у его отца и деда были возможности внести коррективы.
В этой связи особый интерес представляет и диаметрально противоположная точка зрения, недавно высказанная С.Смирновым [58]. В соответствии с ней существует вековой ритм этногенеза, характеризующий его фазы, выделенные Л.Н.Гумилевым – 1,5 – 2 – 2,5 – 3 столетия, а также большой четырехвековой цикл. По его мнению, этногенез можно сравнить с волновым процессом, аналогичным распространению солитонов. То есть речь идет о системе с очень большой или бесконечной памятью. Такой подход позволяет, например, составить "расписание российских этногенезов", в которых исторически важные события, связанные причинно-следственными связями, следуют с определенным временным интервалом. Это приводит, например, к такой причинно-обусловленной цепи событий:
<<А: серия, инициированная ударом арабов по Хазарии: 1565-1581-1730-1985-??? консорций: оборона Пскова и начало покорения Сибири; этнос: обрыв Петровских "реформ сверху", начало их усвоения; надлом: распад партократии, начало плюрализма>>.
Предложенная схема представляется достаточно экзотической. Волны солитонного типа характерны для нелинейных сред, для которых существует достаточно большое или бесконечное число законов сохранения. Не видно веских причин, чтобы считать, что в мировой истории мы сталкиваемся именно с этой ситуацией. Кроме того, было бы разумно предположить, что "плюрализм" практически не связан с разгромом хазар в VIII в.
Тем не менее, сколь бы парадоксальной не представлялась гипотеза С.Смирнова, принципиально важно иметь возможность ее проверить. Вероятно, тут есть два пути. Первый – построение адекватных имитационных моделей ряда исторических процессов. Затем, если они будут иметь вид динамической системы (3), – оценка ляпуновских показателей, либо каких-то других величин, показывающих, как быстро будут "забыты" возмущения. Здесь-то и должна идти речь о близких траекториях, об альтернативах, о поле путей развития. Второй способ – попытка более объективно оценить "важность" или "значение" исторических событий и ранжировать их причинно-следственные связи, исходя из представлений гуманитарных наук. Возможно, опыт работы с достаточно субъективными оценками, накопленный в математической психологии или при создании экспертных систем, здесь окажется очень полезным.
Нетрудно предположить, что работы в этом направлении будут критиковаться как "справа", так и "слева". Точка зрения на развитие общества, как на поведение управляемой динамической системы, согласуется с самой идеей философии истории. Однако можно возразить, что динамика и объективные возможности не очень существенны, а должен преобладать игровой аспект. При таком взгляде, характерном для исторических романов, решающими оказываются поступки королей и интриги временщиков, а не развитие промышленности или переход к новым технологиям земледелия. Математическим выражением этого взгляда является трактовка истории с точки зрения классической теории игр.
Другое отрицание предлагаемого подхода может быть, например, таково: "Динамическая система слишком быстро изменяется в связи с прогрессом технологий, используемых обществом. Поэтому теоретический анализ моделей вида (3) в истории не нужен. Декорации слишком быстро меняются, поэтому у актеров нет возможности сыграть похожие спектакли". Действуя в традиции исторического материализма [10], в которой центральным является представление об исторической формации, и предполагая быстрый рост производительных сил, мы вполне логично приходим к этому выводу.
Контраргументами здесь могут быть длительные периоды весьма медленных технологических изменений. Кроме того, существует весьма большая вероятность, что обострившиеся экологические проблемы и исчерпание ресурсов готовят нашей цивилизации резкое замедление технологического развития. Наконец, множество схожих эпизодов в развитии "этносов", по терминологии Л.Н.Гумилева, или "цивилизаций", по терминологии А.Тойнби, показывают, что многие "спектакли" в истории были аналогичны. Но решающим аргументом здесь могут стать только глубокие содержательные математические модели, связанные с конкретной исторической реальностью.
Моделирование динамики расселения в историческом контексте. Излюбленной темой многих выдающихся историков было влияние географической среды на развитие и исторические судьбы народов и государств. И действительно, изменение климата, стихийные бедствия в одних случаях существенно влияли на судьбы этносов, а в других, по мнению А.Тойнби – становились причиной того, что цивилизация оказывалась "остановленной".
Однако до последних лет анализ этого влияния проводился на уровне общих, достаточно уязвимых рассуждений. До недавнего времени и анализ формирования систем расселения также трактовался весьма субъективно и упрощенно. Преобладало мнение о полной предопределенности на одних исторических временах, например, при анализе формирования промышленных, культурных, политических центров. Такой подход был типичен при обсуждении вопроса, почему именно Москва стала "центром кристаллизации" окрестных княжеств. На других характерных временах, связанных с рождением и интенсивным развитием городов, в отечественной и зарубежной литературе бытовало мнение об определяющей роли субъективного фактора. В таких работах подразумевалась возможность достаточно детально планировать градостроение и выражались надежды, что эти планы будут реализованы в прекрасном соответствии с предлагаемыми проектами. Последнее заблуждение многократно опровергалось при строительстве новых городов. Процессы обычно шли совсем не так, как планировалось. Принципиальному изменению взглядов в этой области способствовал анализ динамики систем расселения с точки зрения теории самоорганизации и нелинейной динамики, а также использование в этих задачах методов точных наук. За последнее десятилетие было предложено несколько математических моделей развития динамики систем расселения, углубляющих и развивающих представление социально-экономической географии [46-48].
