Идею экспериментального определения функции ε(ν,T) предложил сам Кирхгоф. Из небольшого отверстия в стенке полости абсолютно черного тела надо вывести излучение, а затем разложить его в частотный спектр. Преодолев экспериментальные трудности, физики к началу XX в. уже знали экспериментальную зависимость ε(ν,T) (рис. 17).
Однако получить теоретическую формулу, совпадающую с полученными экспериментальными данными, долгое время никому не удавалось. С точки зрения истории развития физики эти трудности легко объяснить. Излучение долгое время представляло для ученых новый и трудный для изучения объект. Со времен Максвелла физики знали, что излучение имеет электромагнитную природу, но найти теоретический подход к описанию свойств излучения было непросто. Характерно, что для теоретического обоснования экспериментально полученного закона излучения абсолютно черного тела применялись термодинамические методы и принципы. Еще Кирхгоф применял для доказательства своего закона термодинамическое правило, согласно которому достигнутое в изолированной системе равновесие сохраняется сколь угодно долго и не может быть нарушено теплообменом между частями системы. Следовательно, излучающее тело можно представлять заключенным в оболочку постоянной температуры и непроницаемую для излучения. В результате теплообмена тело принимает температуру оболочки.
Важное место в исследованиях теплового излучения занимают труды учителя Больцмана Й. Стефана. По мере развития кинетической теории газов в середине XIX столетия резко возрос интерес к проверке развитой Д. Максвеллом теории теплопроводности газов. Стефан экспериментально установил полное соответствие опытных данных с предсказаниями теории, что справедливо рассматривалось тогда как один из важных аргументов в пользу справедливости молекулярно-кинетической теории. Логичным продолжением этих работ явилось опубликованное Й. Стефаном в 1874 г. исследование «О связи между тепловым излучением и температурой», где он, обратив внимание на имеющиеся в то время несовпадения экспериментальных результатов различных авторов, устанавливает, что полное количество теплоты Q, излучаемой с единицы поверхности в единицу времени, пропорционально четвертой степени температуры (закон Стефана):
Q ~ T4.Этот закон позволял уже судить и о виде функции Кирхгофа.
Закон Стефана в течение десяти лет был обоснован только экспериментально. Его теоретический вывод дал в 1884 г. Л. Больцман. Прекрасно зная электромагнитную теорию Максвелла и глубоко веря в ее справедливость, Больцман воспользовался предсказываемым теорией выводом о существовании давления электромагнитного излучения, что, кстати, еще не было подтверждено экспериментально и поэтому оспаривалось многими учеными. (Существование светового давления экспериментально доказал русский ученый П.Н. Лебедев в 1899 г.) Больцман дал очень короткий и изящный вывод закона Стефана. Физики многих поколений рассматривали этот вывод как образец теоретической физики. Позже М. Лауэ оценил его как «триумф электромагнитной теории света». После теоретического обоснования закон Стефана стал называться законом Стефана — Больцмана:
Q = σT4. (15)
Постоянная
σ = 5,67∙10-8 Вт/м2∙K
и получила название постоянной Стефана — Больцмана.
Первую попытку определения теоретическим путем вида функции Кирхгофа предпринял русский физик В. А. Михельсон в 1887 г. Для этого ему необходимо было предположить определенный механизм возникновения излучения. По мнению Михельсона, излучение обязано своим происхождением колебаниям атомов излучающего тела, которые распределены по скоростям в соответствии с законом Максвелла — Больцмана. Идеи статистики впервые применяются к теоретическому анализу совершенно другого физического явления — теплового излучения. Качественно полученная Михельсоном зависимость ε(ν,T) соответствовала эксперименту, однако в дальнейшем было установлено наличие в работе Михельсона некоторых недостаточно обоснованных предположений.
Поиски функции Кирхгофа продолжались. Немецкий физик В. Вин распространил понятия энтропии и температуры непосредственно на тепловое излучение и, развивая идеи Михельсона, уточнил вывод функции Кирхгофа. По его мнению, излучение происходит от газовых молекул, «движущихся по законам вероятности». Полученная Вином зависимость имела вид
ε(ν,T) = (C2/λ5)∙exp(-C1/λT),
где C1 и С2 — некоторые постоянные.
Однако экспериментальная проверка полученного Вином соотношения показала, что оно описывает экспериментальные данные только в области коротких длин волн, но резко расходится с опытом при больших значениях ν.
Эти неудачи нисколько не останавливают исследователей. Английский физик Д. Рэлей делает очередную попытку найти теоретическим путем выражение для ε(λ,T). В основу своего расчета он положил доказанный Больцманом вывод о равномерном распределении энергии по степеням свободы, хотя правомерность применения этого принципа к тепловому излучению и оспаривалась рядом физиков. Предложенная им картина установления теплового равновесия в полости абсолютно черного тела была принципиально иной, а именно: он полагал, что при отражении излучения от стенок полости внутри нее возникает система стоячих волн (рис. 18). Естественно, что при этом в области малых длин волн (высоких частот) должно сосредотачиваться бесконечно большое количество энергии. Вывод Рэлея впоследствии был уточнен другим английским физиком Д. Джинсом, и полученное соотношение стало называться законом Рэлея — Джинса. Аналогичное выражение, но исходя из идеи возникновения электромагнитного излучения при столкновениях электронов с атомами металла, получил X. А. Лоренц. Однако и сравнение формулы Рэлея — Джинса с экспериментальными данными было также неутешительным. Формула была верна в области длинных волн, но не подтверждалась опытными данными для коротких (рис. 17). Постепенно становилось ясным, что классическая физика была не в состоянии решить проблему излучения абсолютно черного тела. В теории теплового излучения сложилась ситуация, которую П. Эренфест выразительно назвал «ультрафиолетовой катастрофой».
Рис.18. Механизм образования стоячих волн в плоскости абсолютно черного тела
Решение проблемы излучения абсолютно черного тела нашел М. Планк. Отметим, что участие Больцмана в поисках Планка было столь большим, что по всей видимости позволяет назвать его соавтором решения.
Планк приступил к решению проблемы в 1897 г. В это время он был уже хорошо известен своими исследованиями в области термодинамики, но отнюдь не являлся сторонником идей Больцмана о вероятностном, статистическом характере второго начала термодинамики. Это было причиной негативного отношения Больцмана к Планку, поскольку последний, как он сам признавался, придавал «принципу возрастания энтропии применимость во всех без исключения случаях». Именно с этих позиций Планк пытался решить проблему излучения абсолютно черного тела. Его основная идея заключалась в том, чтобы чисто термодинамическим путем объяснить переход к равновесному состоянию системы излучателей (в принципе, их можно связать с атомами), взаимодействующей с электромагнитным излучением замкнутой полости. Это означало бы признание необратимого характера этого взаимодействия.
Много позже в своей работе «Научная автобиография» Планк напишет, что предположение о необратимости «вызвало энергичное возражение со стороны искушенного в этом вопросе Больцмана, который доказал, что по законам классической механики каждый из рассматриваемых мною процессов может протекать также в строго противоположном направлении». Больцман указывал Планку, что в уравнениях электродинамики нет ничего такого, что исключало бы обратные процессы. Больцмановская критика была конструктивной, великий физик подсказывал Планку пути выхода из тупика. Он их видел в привлечении к анализу излучения гипотез статистического характера. Приведем замечательные слова Больцмана: «Так же как и в теории газов, можно и в излучение ввести вероятное состояние, при котором волны не упорядочены, а различным образом взаимодействуют между собой». Больцман смело переносит идеи молекулярно-кинетической теории на процессы электромагнитного излучения. Планк в конце концов добился успеха именно на этом пути.
Но способ, которым шел Планк к успеху, был весьма необычным для теоретика. В 1900 г. он докладывает немецкому физическому обществу работу «Об одном улучшении спектрального закона Вина», в которой он «сконструировал совершенно произвольное выражение для энтропии и получил следующую двухконстантную формулу излучения:
