Но способ, которым шел Планк к успеху, был весьма необычным для теоретика. В 1900 г. он докладывает немецкому физическому обществу работу «Об одном улучшении спектрального закона Вина», в которой он «сконструировал совершенно произвольное выражение для энтропии и получил следующую двухконстантную формулу излучения:
которая, как можно видеть, значительно лучше соответствует опубликованным опытным данным». Этот доклад не вызвал особенного интереса у слушателей, поскольку путь получения новой формулы был совершенно неубедителен. Планк и сам сознавал это.
«Если бы даже формула излучения оказалась совершенно точной, — пишет он, — то она имела бы очень ограниченное значение, исключительно как удачно подобранное интерполяционное выражение. Поэтому я со дня установления этой формулы поставил себе задачей сообщить ей реальное физическое значение. Этот вопрос привел меня к изучению зависимости между энтропией и вероятностью, т. е. к больцмановскому ходу мыслей (выделено мной. — О. С). После нескольких недель наиболее напряженной за всю мою жизнь работы потемки прояснились и передо мной забрезжил свет новых далей».
Еще раз можно отметить направляющую роль Больцмана в прозрении Планка. Об этом же пишет в своей книге «По тропам науки» французский физик Л. де Бройль, вспоминая, что, когда Планк сообщил Больцману о своих первоначальных и неудачных попытках найти формулу излучения, тот ответил ему, что правильную теорию теплового излучения нельзя построить без введения в процессы излучения ранее неизвестного элемента прерывности (дискретности) излучения.
Планк придал реальность этой идее Больцмана, и скоро обнаружилась поразительная плодотворность перенесения атомистических представлений в теорию излучения. Планк ввел так называемую гипотезу естественного излучения, аналогично гипотезе молекулярного хаоса. Ее сутью является то, что отдельные волны, из которых состоит электромагнитное излучение, полностью некогерентны, или, что одно и то же, отдельные излучатели настолько удалены друг от друга, что они непосредственно не взаимодействуют между собой. Мерой энтропии построенной таким образом системы будет, следуя Больцману, число всевозможных «электромагнитно-различных» размещений энергии между излучателями системы. Но для того чтобы вычислить число этих размещений, Планк обязан был предположить, что полная энергия системы складывается из конечного числа элементарных порций энергии, которые он назвал квантами. Нетрудно видеть, что Планк повторяет путь Больцмана, предложенный в работе «Об отношении второго начала механической теории теплоты и исчисления вероятностей в соответствии с теоремами о тепловом равновесии» (1877), однако результат, полученный им, был совершенно иным.
В этой работе Больцман ввел предположение о дискретности энергии молекул лишь как вспомогательный математический прием, как «полезную фикцию». Значение минимальной порции энергии е в окончательные результаты не вошло, так как в ходе расчета Больцман устремлял ее к нулю. Больцман не вкладывал физического смысла в допущение о дискретности энергий молекул, а рассматривал это лишь как способ быстрого решения поставленной перед собой задачи. И все же Планк использует полученный в этой работе результат для определения вероятности состояния системы излучателей, поскольку «в гипотезах, лежащих в основании электромагнитной теории излучения, мы не имеем абстрактно никакого отправного пункта для суждения о такой вероятности». Планк, как и ранее Больцман, рассматривает распределение энергии конечными порциями — квантами — не как свойство самого излучения, а как результат взаимодействия излучения с веществом.
Энергию кванта Планк положил пропорциональной частоте излучения:
ε =
hν,где h — введенная им новая постоянная. Полученная в этом предположении формула в точности совпадала с полученным им же ранее выражением. Формула также прекрасно совпадала с экспериментальными данными, и из данных опыта Планк вычисляет значение h:
h = 6,62∙10-34 Дж∙с.
Постоянная h начала свой путь в физике, ныне же она входит в число универсальных физических постоянных и носит название постоянной Планка.
В ходе теоретических исследований Планк совершенно строго получил формулу Больцмана (14), связывающую энтропию и вероятность, и вычислил значение входящего в нее коэффициента пропорциональности k:
S = klnw, где
к = 1,38- 10~23 Дж-К-1. (16)
Он же предложил называть постоянную к постоянной Больцмана, хотя, по его убеждению, «Больцман никогда не вводил этой константы и вообще не заботился об определении ее численного значения». Можно понять всю глубину уважения Планка к великому теоретику. Теперь константа Больцмана к занимает почетное место в ряду универсальных физических постоянных. Например, средняя кинетическая энергия частиц Е связана с температурой T соотношением
Е = 3/2kТ.
Положение с признанием формулы Планка еще долгое время нельзя было назвать удовлетворительным. Несмотря на полное совпадение с экспериментом, ученых смущало то, что теоретические предпосылки, положенные в основу ее вывода, были в полном противоречии с классической физикой. Согласно классическим представлениям, обмен энергией между веществом и электромагнитным излучением мог происходить с непрерывным изменением энергии. Планковская гипотеза превращала этот обмен в прерывный, дискретный процесс. Энергия изменяется только порциями, квантами ε = hν. Именно поэтому вывод Планка был прохладно встречен большинством физиков. Сразу же и безоговорочно приветствовал успех Планка один лишь Больцман! Позже Планк писал, что ему доставило большое моральное удовлетворение то, что, ознакомившись с расчетами, Больцман выразил одобрение его гипотезы. Все же понятию о квантах энергии предстояло долгое время завоевывать себе признание.
Планк очень болезненно переживал предлагаемый им отказ от привычных классических представлений об обмене энергией. «Когда подумаешь о полном экспериментальном подтверждении, — пишет он, — которое получила электродинамика Максвелла в самых тонких явлениях интерференции, когда подумаешь о невероятных трудностях, которые повлек бы за собой отказ от нее для всей теории электрических и магнитных явлений, то испытываешь какое-то отвращение, когда сразу же разрушаешь ее основы». Много раз он тщетно пытался ввести постоянную h в рамки классической физики. В период между 1900 и 1905 гг. гипотеза Планка о существовании квантов энергии практически не обсуждалась физиками.
Первым ученым, который применил гипотезу Планка к анализу других физических явлений и показал ее плодотворность для физики, был А. Эйнштейн. В то же время он пошел значительно дальше Планка в осмыслении его гипотезы. Анализируя явление фотоэффекта (испускания электронов металлами под действием света), ученые долгое время не могли найти объяснение, почему энергия фотоэлектронов не уменьшается при удалении от металлической пластинки источника света (рис. 19).
Рис.19. Схема исследования фотоэффекта
Если придерживаться волновой теории света, то при удалении источника уменьшается плотность энергии, падающей на пластинку, следовательно, можно ожидать и уменьшение энергии испускаемых электронов. Однако русский ученый А. Г. Столетов экспериментально установил, что энергия фотоэлектронов зависит не от интенсивности света, а лишь от частоты излучения ν. Удивительно простым, но находящимся в резком противоречии с классическими представлениями о волновой природе света было объяснение фотоэффекта А. Эйнштейном в 1905 г. Согласно его теории, источник света испускает кванты света определенной частоты — фотоны с энергией ε = hν, которые после испускания ведут себя как самостоятельные физические объекты. Естественно, что при этом их энергия никоим образом не зависит от удаления их от источника света. Эйнштейновское уравнение фотоэмиссии вскоре успешно прошло экспериментальную проверку. В физику вошло принципиально новое представление о квантах света — фотонах.
Быстрое экспериментальное и теоретическое подтверждение квантовой гипотезы показало ее исключительную плодотворность. Эти успехи можно несомненно рассматривать как триумф развиваемых Больцманом статистических идей. Вероятностные представления вскоре проникают в новые области физики — физику атомов и элементарных частиц. Вероятностный, статистический подход является единственно возможным для описания поведения каждой отдельной микрочастицы. Без преувеличения можно сказать, что лицо современной физики определяет именно статистическая физика.
