8. 2. Характеристики запаздываний
Две характеристики запаздывания представляют очевидный интерес. Одна — длительность времени, выражающая среднее значение запаздывания D. Она полностью определяет «установившееся» запаздывание, при котором темпы потока на входе и выходе и уровень между ними постоянны. При этих условиях темпы входящего и исходящего потоков должны быть равны между собой. При установившихся условиях темп потока, умноженный на среднюю величину запаздывания, дает количество, находящееся в запаздывании.
Вторая характеристика запаздывания описывает его «неустановившуюся реакцию», которая показывает, как динамика исходящего потока связана с динамикой входящего потока, когда темп последнего меняется во времени.
Различные запаздывания могут иметь одинаковую среднюю величину запаздывания D и различные неустановившиеся реакции на изменения в темпе входящего потока. Мы должны очень внимательно подходить к выбору неустановившейся реакции запаздывания, которую мы собираемся использовать в модели. Если при выборе неустановившейся реакции допущена грубая ошибка, это может оказать существенное влияние на качественное поведение динамической модели.
8. 3. Показательные запаздывания
Запаздывания в канале потока внутри математической модели можно определить с помощью функций различного вида. Здесь мы будем рассматривать только один класс функций запаздываний — показательные, которые просты по форме и достаточно полно отражают обычный уровень нашего понимания отображаемых реальных систем. Однако при необходимости для этой цели можно использовать и другие виды функций.
Показательное запаздывание первого порядка (рис. 8–1 а) состоит из уровня (который поглощает разность темпов входящего и исходящего потоков) и темпа исходящего потока, зависящего от величин уровня и среднего запаздывания (константы); темп входящего потока определяется другими частями системы.
Рис. 8–1. Показательное запаздывание первого порядка
Темп потока на выходе в соответствии с определением данного класса запаздываний равен уровню, деленному на среднее запаздывание:
,
8–1, Rгде
OUT — темп потока на выходе (единицы/время);
LEV — уровень, находящийся в запаздывании (единицы);
DEL — постоянная запаздывания, представляющая среднее время, необходимое для преодоления запаздывания.
Уравнение 8–1 является уравнением темпа и определяет так называемое «неявное» решение[42], поскольку оно принимается не по указанию руководителя, а вытекает из существующего в данный момент состояния системы, отображаемого переменным уровнем LEV.
Представление запаздывания неполно до тех пор, пока отсутствует уравнение для определения перемещаемого внутри запаздывания количества LEV. Уровень LEV, находящийся в запаздывании, накапливается благодаря различию в темпах входящего и исходящего потоков:
,
8–2,
Lгде
LEV — уровень, находящийся в запаздывании (единицы);
DT — интервал между последовательными решениями уравнения (время);
IN — темп входящего потока, задаваемый другим уравнением системы (единицы/время);
OUT— темп исходящего потока (единицы/время).
В связи с тем, что запаздывания будут весьма часто употребляться при построении динамических моделей, для их изображения мы будем пользоваться символами (рис. 8–1 б), которые более компактны по сравнению с детализированной диаграммой, приведенной на рис. 8–1 а. На рис. 8–1 б в полуячейке со стороны входа дается обозначение переменной уровня и шифр уравнения, определяющего его величину. В трех ячейках со стороны выхода приводятся символ постоянной запаздывания, номер уравнения, определяющего темп на выходе, и «порядок» запаздывания (DI для первого порядка).
Показательные запаздывания высшего порядка получаются путем проведения потока через два или более последовательно расположенных запаздывания первого порядка. Запаздывания первого и более высокого порядков могут иметь одинаковое общее среднее запаздывание D, но будут различаться по неустановившейся реакции на изменения в темпе потока.
Рис. 8–2. Показательное запаздывание третьего порядка.
На рис. 8–2 а показано запаздывание третьего порядка в виде общего суммарного запаздывания DEL. Это общее запаздывание распределено на три равные части, каждая из которых представляет собой запаздывание первого порядка. Показательное запаздывание третьего порядка определяется тремя парами уравнений, подобных 8–1, R и 8–2, L, которые связывают между собой темпы потока на входе IN и на выходе OUT:
,
8-3,
R,
8-4,
L,
8-5,
R,
8-6,
L,
8-7,
R,
8-3,
LНас в большей степени будет интересовать общее количество LEV, проходящее через данное запаздывание в целом, чем пребывающее в отдельных его секциях. В этом случае можно записать:
.
8–9,
AСоставление уравнений типа 8–3—8-9 и диаграмм, подобных изображенной на рис. 8–2 а, каждый раз, когда нужно представить запаздывание третьего порядка, — весьма трудоемкая операция[43]. Поэтому мы будем применять в таких случаях сокращенное обозначение. Для нас обычно будет представлять интерес общее перемещающееся в запаздывании количество, описываемое уравнением 8–9; это количество может быть определено непосредственно из уравнения
,
8-10,
Lкоторое аналогично уравнению 8–2, L.
Для того чтобы в сжатой форме представить уравнения с 8–3 по 8–8, можно воспользоваться следующим функциональным обозначением:
