Мы показали, что сфероид Земли, постоянно притягивающий к своему центру обращенное к нам полушарие Луны, передает вращательному движению спутника вековые вариации своего собственного движения и таким образом всегда уводит из нашего поля зрения другое полушарие. Наконец, мы показали, что в движении первых трех спутников Юпитера имеет место замечательная закономерность, следующая из их взаимного притяжения: средняя долгота первого спутника, видимая из центра Юпитера, за вычетом одной трети долготы второго спутника и в сумме с удвоенной долготой третьего спутника, всегда точно равна двум прямым углам. Следовательно, эти спутники никогда не могут одновременно находиться в затмении.
В последующем нам предстоит особо рассмотреть возмущения планет и комет при их движении вокруг Солнца, движения Луны вокруг Земли и спутников вокруг планет. В этом состоит цель второй части этого труда, в котором особое внимание уделено улучшению астрономических таблиц. Эти таблицы следовали развитию науки, которая служит им основанием. В начале этот прогресс был исключительно медленным и в течение очень долгого времени люди следили только за видимым движением светил. Эта эпоха, начало которой затеряно в глубокой древности, может рассматриваться как детство астрономии. Ей принадлежат труды Гиппарха и Птолемея, а также наблюдения индусов, арабов и персов. Система Птолемея, которую они последовательно приняли, по существу является ничем иным, как способом представления видимых движений, и на этом основании она была полезна науке. Слабость человеческого ума часто требует помощи гипотезы для установления взаимосвязи, фактов. Если мы ограничиваем гипотезу таким ее применением и позаботимся о том, чтобы не приписывать ей того реального значения, которым она не обладает, и будем затем часто поправлять ее новыми наблюдениями, то мы сможем в конце концов обнаружить истинные причины или, по крайней мере, законы этих явлений. История, философии науки может представить много примеров тех преимуществ, которые можно извлечь из заранее принятой гипотезы, и тех ошибок, которым мы подвержены, полагая, что она соответствует истинному объяснению природы. В середине шестнадцатого века Коперник пришел к выводу, что кажущиеся движения небесных тел указывают нам на истинное движение Земли вокруг Солнца и вокруг своей оси. Таким образом, он показал нам мир с новой точки зрения, и тем самым изменил облик астрономии. Замечательная совокупность открытий навсегда оставит в нашей памяти, в истории науки, столетие, последовавшее за открытием Коперника, эпоху, которая также отмечена шедеврами литературы и искусства.
Кеплер указал законы движения планет по эллипсу. Телескоп, изобретенный благодаря счастливому случаю, был тут же усовершенствован Галилеем. Ему он позволил увидеть на небе новые неравенства и новые миры. Применение маятника в часах Гюйгенсом и телескопа к астрономическому квадранту придало точность измерениям времени и углов и тем самым сделало ощутимыми малейшие неравенства небесных движений. В то время как наблюдения представляли человеческому уму новые явления, для их объяснения и расчета были созданы новые инструменты мышления. Непер изобрел логарифмы. Анализ кривых и основы динамики были созданы трудами Декарта и Галилея. Ньютон открыл дифференциальное исчисление, разложил луч света и возвел тяготение до общего принципа. За только что прошедший век преемники этого-великого человека закончили здание, фундамент которого заложил он. Был усовершенствован анализ бесконечно малых, изобретено исчисление частных производных как бесконечно малых, так и конечных. Вся механика сведена теперь к формулам. Применением этих открытий к закону тяготения были рассчитаны все небесные явления, что придало теориям и астрономическим таблицам необыкновенную точность; этому в значительной мере мы обязаны трудам французских математиков и тем премиям, которые учреждались Академией наук. К указанным открытиям следует прибавить аберрацию звезд и нутацию земной оси, обнаруженные Брадлеем, и многочисленные измерения длины градусной дуги меридиана и длины маятника, пример которых подала Франция, послав членов своей Академии на север, на экватор и в южное полушарие. Произведенное с большой точностью измерение длины дуги меридиана между Дюнкерком и Барселоной было положено в основу наиболее простой и естественной метрической системы мер. Были предприняты многочисленные экспедиции для исследования различных частей земного шара и для наблюдений прохождения Венеры через диск Солнца. Результатом этих путешествий стало точное определение размеров Солнечной системы. Мы должны указать на открытие Гершелем планеты Уран и его спутников, а также двух новых спутников Сатурна. Наконец, мы должны прибавить к этим открытиям изобретение такого замечательного и полезного на море прибора, как секстанта, астрономического телескопа, меридианного круга, пассажного инструмента и хронометра. Мы можем быть удовлетворены, что с точки зрения прогресса человеческого ума прошедший век достоин предшествующего. Век, в который мы только вступили, начался с очень обещающих астрономических предзнаменований. Его первый день был отмечен открытием планеты Церера. Вскоре последовало открытие планеты Паллада, с почти тем же средним расстоянием до Солнца. Близость Юпитера к этим двум, ничтожно малым телам, большая величина эксцентриситета и наклонения их переплетающихся орбит, должны привести к значительным неравенствам в их движении, которые прольют новый свет на теорию всемирного тяготения и послужат для дальнейшего ее усовершенствования.
Главным образом, благодаря применению математического анализа к системе мира, мы поняли все могущество этого замечательного инструмента, без которого невозможно было бы раскрыть механизм столь сложный по своим действиям, но столь простой по своим причинам. В свои формулы математик теперь включает всю планетную систему, ее последовательные изменения. Он может мысленно оглядываться на различные состояния, через которые эта система прошла в наиболее удаленные от нас века, и может предсказать, что в грядущем развернется перед наблюдателем. Он видит эту величественную картину, охватывающую несколько миллионов лет, повторенную благодаря быстроте обращения за несколько веков в системе спутников Юпитера и воспроизводящую замечательные явления, подобные тем, которые давно подозревались астрономами в движении планет, но которые были слишком сложны и замедленны для того, чтобы установить их точные законы. Теория тяготения благодаря многим приложениям стала средством открытий, столь же верных, как сами наблюдения. Теория обнаружила ряд новых неравенств в движении небесных тел и позволила предсказать возвращение кометы 1759 года, обращения которой благодаря притяжению Юпитера и Сатурна очень нерегулярны. Таким путем математик может извлечь из наблюдений, как из богатого рудника, большое число ценных и тонких данных, которые без анализа были бы навсегда скрыты. Таковы относительные значения масс Солнца, планет и спутников, определенные по обращению этих тел, их периодическим и вековым неравенствам; скорость света и эллипсоидальность Юпитера, которую можно определить по затмениям его спутников точнее, чем прямыми наблюдениями; период вращения и сплюснутость Урана и Сатурна, вычисленные из предположения о том, что тела, обращающиеся вокруг этих планет, находятся соответственно в одной плоскости, следует еще назвать параллаксы Солнца и Луны, а также фигуру самой Земли, определенную по некоторым неравенствам Луны. Мы увидим в дальнейшем, что движение Луны, по мере усовершенствования астрономии, указывает на малую эллиптичность сфероида Земли, округлость которой стала известна первым астрономам по затмению этого светила.
Наконец, благодаря счастливому сочетанию расчета и наблюдений, то светило, которое придано Земле с тем, чтобы освещать его ночью, стало также вернейшим проводником для мореплавателя, защищающим от опасностей, вечно его подстерегавших из-за ошибок при определении места на море. Совершенствование теории и таблиц Луны, которым мореплаватель обязан точности определения места, есть плод деятельности математиков и астрономов за последние полвека. В них объединено все то, что придает ценность открытиям, величие и полезность цели, плодотворность приложениям и достоинство преодоленным трудностям. Именно таким путем наиболее абстрактные теории, применение которых рассеяно по многочисленным явлениям природы и инженерного искусства, стали неиссякаемым источником удобства и радости даже для тех, кто с ними совершенно незнаком.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
НАПОЛЕОНУ ВЕЛИКОМУ
В этом сочинении я предполагаю изложить анализ и принципы, необходимые для решения проблем, касающихся вероятностей. В основе анализа лежат две теории, которые были мною опубликованы еще 30 лет тому назад в мемуарах Академии наук. Одна из них —это теория производящих функций, другая — теория приближенных формул для функций больших чисел. Они являются предметом первой книги, в которой я излагаю их в еще более общей форме, чем в упомянутых мемуарах. Их сопоставление наглядно показывает, что вторая работа есть развитие первой и что их можно рассматривать как два раздела одного и того же исчисления, которое я называю исчислением производящих функций. Это исчисление лежит в основе той теории вероятностей, которая является предметом второй книги. Вопросы, относящиеся к случайным событиям, чаще всего сводятся к линейным дифференциальным уравнениям с простыми пли частными производными и первый отдел исчисления производящих функций дает общий метод для интегрирования уравнении такого рода. Но когда рассматривается большое число событии, то выражения, которые их описывают, состоят из большого числа членов и множителей так, что их численный расчет практически невозможен и потому так необходим способ, который преобразует такие ряды в сходящиеся. Это и осуществляется во второй части исчисления производящих функций с тем большим успехом, чем больше в нем необходимость.
