Так что искомое выражение равно
Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями |+ у от нуля до r+s. Посмотрим, какие члены дадут r'-ю степень |+ ). Они всегда будут сопровождаться множителем типа |->s', где s'=2j-r'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>r' |->s' с численными коэффициентами Аr' , куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:
Теперь разделим каждое Аr'на множитель [(r'+s')lr'!s'!]l/2 и обозначим частное через Вr. Тогда (16.66) превратится в
[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет Br’]
Если так определить Вr' , то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями. Итак, имеем
где s' всегда равняется r+s-r'. А это, конечно, означает, что коэффициенты Вr'и есть искомые матричные элементы
Теперь, чтобы найти Br', остается немного: лишь пробиться через алгебру.
Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r'+s'=r+s, мы видим, что Br' — это просто коэффициент при ar'bs'в выражении
Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b. Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при аr'bs' в (16.70) имеет вид
Сумма берется по всем целым k, при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.
В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям j, m и m', пользуясь формулами
r=j+-m, r'=j+m', s=j-m, s'=j-m'. Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.
Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
В § 1 мы рассмотрели испускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со спином 0. Если спин возбужденного состояния направлен вверх (m=+1), то атом может излучить вверх вдоль оси +z правый фотон или вдоль оси -z левый. Обозначим эти два состояния фотона |Rвв> и |Lвн>. Ни одно из них не обладает определенной четностью. Если оператор четности обозначить
Что же тогда будет с нашим прежним доказательством, что атом в состоянии с определенной энергией должен иметь определенную четность, и с нашим утверждением, что четность в атомных процессах сохраняется? Разве не должно конечное состояние в этой задаче (состояние после излучения фотона) иметь определенную четность? Да, должно, если только мы рассмотрим полное конечное состояние, в которое входят амплитуды излучения фотонов под всевозможными углами. А в § 1 мы рассматривали только часть полного конечного состояния.
Если вы хотите, можно рассмотреть только конечные состояния, у которых действительно определенная четность. Например, рассмотрим конечное состояние |yk>, у которого есть некоторая амплитуда а оказаться правым фотоном, движущимся вдоль оси +z, и некоторая амплитуда b оказаться левым фотоном, движущимся вдоль оси -z. Можно написать
Оператор четности, действуя на это состояние, дает
Это состояние совпадает с ±|yк> либо при b=a, либо при b=-a. Так что конечное состояние с положительной четностью таково:
а состояние с отрицательной четностью
Далее, мы хотим рассмотреть распад возбужденного состояния с отрицательной четностью на основное состояние с положительной четностью и на фотон. Если четность должна сохраниться, то конечное состояние фотона должно иметь отрицательную четность. Оно обязано быть состоянием (16.75). Если амплитуда того, что будет обнаружено | Rвв>, есть a, то амплитуда того, что будет обнаружено | Lвн>, есть -a.
Теперь обратите внимание на то, что получается, если мы проводим поворот на 180° вокруг оси у. Начальное возбужденное состояние атома становится состоянием с m=-1 (согласно табл. 15.2, стр. 129, знак не меняется). А поворот конечного состояния дает
Сравнивая это с (16.75), мы увидим, что при выбранной нами четности конечного состояния амплитуда того, что при начальном состоянии с m=-1 будет получен левый фотон, идущий в направлении +z, равна со знаком минус амплитуде того, что при начальном состоянии с m=+1 будет получен правый фотон, идущий в направлении -z. Это согласуется с результатами, полученными в § 1.
* Первоначально материал этого добавления входил в текст лекции, но потом мы поняли, что не стоит включать в нее такое подробное изложение общего случая.
* Тем более, что большая часть работы уже проделана, раз у нас есть общая матрица поворота (16.35).
* Отдачей, которую испытал Ne20* в первой реакции, можно пренебречь. Или, еще лучше, подсчитать и сделать поправку на нее.
* Детали вы найдете в добавлении, стр. 165.
* Мы не нормировали наши амплитуды и не умножали их на амплитуду распада в то или иное конечное состояние, но легко видеть, что наш результат верен, ибо, рассчитывая вторую из взаимоисключающих возможностей [см. (16.23)], мы получаем вероятность нуль.
* Заметьте, что мы всегда анализируем момент количества движения относительно направления движения частицы. Если бы мы стали интересоваться моментом количества движения относительно других осей, нам пришлось бы учесть возможность «орбитального» момента количества движения — от члена pXr. Так, мы не вправе говорить, что фотоны вылетают прямо из центра позитрония. Они могли вылететь, как два комка с обода вертящегося колеса. О таких подробностях не приходится задумываться, если проводить ось вдоль направления движения.
* При нашем нынешнем глубоком понимании мира нелегко ответить на вопрос—менее ли «материальна» энергия фотона, чем энергия электрона, ведь, как вы помните, все частицы ведут себя очень похоже. Единственное различие в том, что у фотона масса покоя равна нулю.
* Кое-кто может возразить, что все эти рассуждения неверны, потому что наши конечные состояния не обладают определенной четностью. В добавлении 2 в конце этой главы вы найдете другое доказательство, которое вас удовлетворит.
* Когда мы переводим х, у, z в -х, -у, -z, то можно подумать, что все векторы перевернутся. Это верно для полярных векторов, таких, как смещения и скорости, но не для аксиальных векторов наподобие момента количества движения, да и любых векторов, представляющих собой векторное произведение двух полярных векторов. Компоненты аксиальных векторов при инверсии не меняются.
Глава 17
АТОМ ВОДОРОДА И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА
§ 1. Уравнение Шредингера для атома водорода
§ 2. Сферически симметричные решения
§ 3. Состояния с угловой зависимостью
§ 4. Общее решение для водорода
§ 5. Волновые функции водорода
§ 6. Периодическая таблица
§ 1. Уравнение Шредингера для атома водорода
Самым замечательным успехом в истории квантовой механики было объяснение всех деталей спектров простейших атомов, а также периодичностей, обнаруженных в таблице химических элементов. В этой главе в нашем курсе квантовой механики мы наконец-то подойдем к этому важнейшему достижению и расскажем об объяснении спектра атомов водорода. Кроме того, здесь мы расскажем и о качественном объяснении таинственных свойств химических элементов. Для этого мы подробно изучим поведение электрона в атоме водорода: в первую очередь мы рассчитаем его распределения в пространстве, следуя тем представлениям, которые были развиты в гл. 14.
