о работе Люилье, написанной двадцатью годами раньше. Но вскоре он узнал об этой работе и о том, что три из пяти его исключений уже были описаны Люилье. Гессель полагал, что многим неизвестно об этих важных исключениях, поэтому не стал отзывать статью. Два новых исключения Гесселя показаны на рис. 15.3. Одно из них — многогранник, образованный двумя многогранниками, соединенными по ребру, а другое — многогранник, образованный двумя многогранниками, соединенными в вершине. Вопрос о том, следует ли называть эти фигуры многогранниками, спорный, но нет сомнений, что они не удовлетворяют формуле Эйлера. Первый имеет 12 вершин, 20 ребер и 11 граней (12 — 20 + 11 = 3), а второй — 8 вершин, 14 ребер и 9 граней (8 — 14 + 9 = 3).
Рис. 15.3. Исключения Гесселя из формулы для многогранников
Луи Пуансо нашел еще два исключения в 1810 году130. В статье, содержащей уточнение доказательства Лежандра, Пуансо также представил четыре звездных многогранника, показанных на рис. 15.4. Как мы видели, математические теоремы часто открываются, потом забываются и открываются заново. Напомним, что два из этих четырех звездных многогранников, большой и малый звездные додекаэдры, были описаны еще Кеплером (см. рис. 6.6), а до того встречались на картинах Ямницера и Уччелло (рис. 6.3). Пуансо первым представил два других звездных многогранника, большой додекаэдр и большой икосаэдр, в математическом контексте, хотя первый также встречается на рисунках Ямницера (рис. 6.3). Эти четыре многогранника теперь называются многогранниками Кеплера-Пуансо.
Проще всего рассматривать их как невыпуклые многогранники, составленные из треугольных граней. Мы уже отмечали, что они звездные и потому, как следует из доказательства Лежандра, удовлетворяют формуле
Эйлера для многогранников. Однако ни Кеплер, ни Пуансо не воспринимали их таким образом. Они считали эти экзотические тела новыми видами правильных многогранников.
Рис. 15.4. Многогранники Кеплера-Пуансо: большой и малый звездные додекаэдры, большой додекаэдр и большой икосаэдр
Чтобы понять их точку зрения, нам придется вернуться к многоугольникам на плоскости. Ранее мы утверждали, что существует только один правильный n-угольник для любого n > 2. Например, правильный пятиугольник показан на рис. 15.5 слева. Но если ослабить требования и допустить пересечение сторон многоугольника, то можно будет найти еще один правильный пятиугольник — пентаграмму пифагорейцев. В конце концов, для вычерчивания пентаграммы нужно провести только пять линий карандашом. Мы считаем, что пентаграмма имеет пять вершин и пять сторон, соединяющих эти вершины. Каждая сторона пересекает две другие, но эти точки пересечения игнорируются и не считаются вершинами. Пентаграмма образована пятью сторонами равной длины, и углы между ними равны. Чем не правильный пятиугольник?
Рис. 15.5. Правильный пятиугольник и правильный самопересекающийся пятиугольник, пентаграмма
Кеплер и Пуансо рассматривали свои звездные многогранники точно так же. Большой додекаэдр, с их точки зрения, образован не треугольниками, а двенадцатью самопересекающимися пятиугольными гранями (см. рис. 15.6). То есть нужно взять все компланарные грани и объединить их в одну грань. Таким образом, большой додекаэдр построен из конгруэнтных правильных пятиугольников, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Если мы готовы отказаться от требования выпуклости, то большой додекаэдр можно рассматривать как правильный многогранник наравне с платоновыми телами. И три других тела Кеплера-Пуансо обладают этой переопределенной характеристикой правильности — у большого и малого звездных додекаэдров гранями являются пентаграммы, а у большого икосаэдра — равносторонние треугольники.
Рис. 15.6. Правильные многогранники с самопересекающимися гранями
Как Теэтет доказал, что существует всего пять правильных многогранников, так Коши в 1811 году доказал, что существует только четыре многогранника, удовлетворяющих этому новому, ослабленному определению правильности, — четыре многогранника Кеплера-Пуансо131.
Хотя это не те многогранники, что встречаются в повседневной жизни, вычислить для них величину V — E + F все же можно. Конечно, большой икосаэдр (V = 12, E = 30, F = 20) и большой звездный додекаэдр (V = 20, E = 30, F = 12) удовлетворяют формуле Эйлера. Но остальные два нет — это еще два исключения из формулы Эйлера. Действительно, если рассматривать большой додекаэдр как многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями, то он не удовлетворяет этой формуле. В нем 30 ребер и 12 вершин, поэтому 12–30 + 12 = –6. В малом звездном додекаэдре также 12 вершин, 30 ребер и 12 граней, так что знакочередующаяся сумма снова равна –6.
Первая половина XIX века видела много исключений из формулы Эйлера, но и много новых доказательств. К 1811 году уже существовали доказательства Эйлера, Лежандра и Коши. В 1813 году Люилье в той же статье, где были описаны три исключения132, дал новое доказательство того, что формула Эйлера верна для выпуклых многогранников. Как и Эйлер, Люилье разложил многогранник на пирамиды. Для этого он поместил новую вершину внутрь многогранника и построил ребра и грани, соединяющие эту вершину с вершинами и гранями исходного многогранника. Тем самым он разложил многогранник на много пирамид с общей вершиной. Затем он доказал, что формула для многогранников имеет место для любой пирамиды и для тел, построенных из пирамид таким способом.
В статье Люилье Жергонн привел доказательство для выпуклых многогранников (это доказательство через четырнадцать лет заново открыл Якоб Штайнер [1796–1863])133. Жергонн спроецировал многогранник на плоскость и воспользовался рассуждениями, включающими углы многоугольников.
Одно из самых остроумных доказательств формулы для многогранников придумал Карл Георг Кристиан фон Штаудт (1798–1867) в 1847 году. У этого доказательства есть дополнительное достоинство: оно применимо к широкому классу невыпуклых многогранников. Штаудт родился в дворянской семье в Ротенбурге в Германии. В двенадцать лет он поступил в Гёттингенский университет для изучения астрономии и математики под руководством Гаусса. Его докторская диссертация по астрономии произвела на Гаусса такое впечатление, что он помог Штаудту получить место, дающее право на чтение лекций, в Вюрцбургском университете, хотя Штаудт в то время работал учителем в средней школе. В 1835 году Штаудт стал полным профессором Эрлангенского университета, где был ведущим математиком. Штаудт не отличался плодовитостью, но в 1847 году написал оказавшую заметное влияние книгу по проективной геометрии «Geometrie der Lage», к которой впоследствии добавил три длинных дополнения. Именно этой книгой он больше всего и запомнился.
Выпуклость является достаточным условием для формулы Эйлера, но, как указал Пуансо, не необходимым. В «Geometrie der Lage» Штаудт наконец дал очень общий набор условий, описывающих эйлеровы многогранники134. Как и Коши, Штаудт неявно предполагал, что многогранники являются полыми оболочками, а не
