всех точек, отстоящих от начала координат на расстояние, строго меньшее 1; это единичный диск (x2 + у2 ≤ 1), из которого удалена граничная окружность. Хорошая аналогия — обтрепанные штаны после отрезания размахрившихся краев, нам эта бахрома нужна.
В 1882 г. Феликс Клейн (1849–1925) придумал остроумный способ построения поверхностей140. Он начал с многоугольника (представьте, что он сделан из очень мягкой резины) и строил поверхность, попарно склеивая его стороны. Например, если взять квадрат, скатать его в трубочку и склеить две противоположные стороны, то получится цилиндр (рис. 16.2). Заметим, что если бы вместо скатывания квадрата в цилиндр мы деформировали фигуру на плоскости, пока противоположные стороны не сойдутся (для этого нужна очень мягкая резина!), то получилось бы кольцо в виде крепежной шайбы. Для тополога цилиндр и кольцо неразличимы.
Чтобы было понятно, какие стороны склеивать и в каком направлении, их обычно снабжают стрелками. есть два разных способа склеить пару сторон: с перекручиванием и без. Чтобы обозначить нужное совмещение, мы и используем стрелки. Когда требуется склеить не одну пару сторон, а больше, используются кратные стрелки или стрелки разной формы, чтобы показать, какие стороны склеиваются. На рис. 16.3 мы склеиваем обе пары противоположных сторон квадрата. Для этого одна пара сторон помечается одиночными стрелками, а другая — двойными. Сначала склеивается одна пара сторон и получается цилиндр. Затем, поскольку обе граничные окружности имеют совместимые ориентации, мы соединяем их и получаем тор.
Рис. 16.2. Цилиндр или кольцо
Рис. 16.3. Создание тора из квадрата
В некоторых старых аркадных играх, например Asteroids, использовалось такое тороидальное представление. Покидая прямоугольный экран с одной стороны, космический корабль неожиданно появлялся с другой (рис. 16.4). А если он вылетал наверх, то появлялся снизу. В других играх применялись иные топологические конфигурации. Например, игра Pac-Man разворачивалась на поверхности цилиндра.
Нет никакой нужды ограничиваться квадратами при построении поверхностей. На рис. 16.5 показан восьмиугольник с четырьмя парами противоположных сторон (они помечены одиночными и двойными стрелками, а также одиночными и двойными треугольниками). Чтобы представить, как выглядит получающаяся поверхность, полезно сделать диагональный разрез восьмиугольника (разрез помечен тремя стрелками, чтобы впоследствии склеить его края вместе). Деформируем оба пятиугольника в квадраты с вырезом. Эти квадраты похожи на квадрат на рис. 16.3, поэтому после склеивания они образуют тор с отрезанной горбушкой. Наконец, склеиваем оба тора по границам отрезов и получаем тор с двумя дырками (или двойной тор).
Клейн доказал, что любую поверхность можно представить в виде многоугольника с парами склеенных сторон, но может существовать много представлений одной поверхности в виде многоугольников. По счастью, у каждой поверхности есть «красивое» многоугольное представление, и путем разрезания и склеивания любое многоугольное представление можно преобразовать в красивое141.
Во всех рассмотренных выше примерах стороны многоугольников склеивались без перекручивания. На рис. 16.6 показан квадрат, противоположные стороны которого склеены с перекручиванием. Поскольку квадрат сделан из резины, мы можем его вытянуть, скатать, как если бы собирались склеить цилиндр, но перед склеиванием повернуть один конец на полоборота. В результате получится хорошо известная лента Мёбиуса.
Рис. 16.6. Лента Мёбиуса
Хотя построить ленту Мёбиуса просто, она обладает многими удивительными свойствами. В отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего одна сторона. Муравей, ползущий вдоль средней линии ленты Мёбиуса, вернется в исходную точку, оставаясь все время на одной стороне. Эту мысль можно выразить и по-другому: цилиндр можно покрасить в синий цвет с одной стороны и в красный с другой, но лента Мёбиуса может быть только целиком красной или целиком синей. Кроме того, в отличие от цилиндра, у ленты Мёбиуса всего один край. Муравей будет видеть край слева и справа от себя, не понимая, что на самом деле это один и тот же край.
Лента Мёбиуса — топологический объект, обожаемый любителями математики. его изображали многие скульпторы и художники. Пожалуй, самый знаменитый художественный образ принадлежит М. К. Эшеру (1898–1972), который в 1963 году выполнил на дереве гравюру с изображением (кого же еще!) муравьев, ползущих по ленте Мёбиуса (рис. 16.7). Она встречается и в литературе — обычно в научной фантастике, — например в коротком рассказе Артура Кларка «Стена мрака», написанном в 1949 году142. Она же лежит в основе удостоенного награды дизайна Гэри Андерсона, который на конкурсе ко Дню Земли в 1970 году создал символ вторичной переработки, ныне встречающийся повсеместно[9]. Лента Мёбиуса применяется для создания конвейерных лент и ленточных петель, чтобы они изнашивались равномерно.
Рис. 16.7. Две знаменитые ленты Мёбиуса: «Лента Мёбиуса II» Эшера (1963) и символ вторичной переработки
Лента Мёбиуса даже лежит в основе фокуса с загадочным названием «афганские ленты», который можно проследить по крайней мере до 1882 года. Фокусник держит в руках три матерчатые петли — как он объясняет, выполняющие функции поясов для одежды. Беда в том, жалуется он, что ему нужны пояса для двух клоунов, полной дамы и сиамских близнецов. Он берет первую полоску, разрезает ее вдоль средней линии и получает пояса для обоих клоунов. Потом так же кромсает вторую полоску, но вместо двух петель получает одну удвоенной длины — пояс для полной дамы. Наконец, чтобы получить пояса для близнецов, он разрезает третью полоску и получает два сцепленных вместе пояса. Фокус, как видно на рис. 16.8, в том, что петли изначально перекручены (ноль раз, один раз и два раза соответственно). Для максимального эффекта ткань или бумага должны быть гибкими, а их ширина должна быть гораздо меньше длины, чтобы публика не заметила перекрутов. Стивен Барр предлагает следующую драматичную модификацию143. До начала представления нанесите горючую жидкость на среднюю линию скрученной петли. Выступая перед публикой, прикрепите край петли к стене и поднесите к ткани спичку. Вспышка пламени — и петля распадается на части нужной конфигурации.
Читателю стоит отложить книгу и попробовать эти и другие варианты разрезания (см. примеры в приложении A). Попробуйте перекрутить ленты более двух раз. Попробуйте разрезать ленту Мёбиуса вдоль линии, проходящей на расстоянии 1/3 от одного из «двух» краев. Лично мне больше всего нравится фокус, придуманный Стэнли Коллинзом144. Протащите ленту через обручальное кольцо и только потом перекрутите ее три раза и склейте. Если теперь разрезать ленту посередине, то образуется узел, и кольцо окажется внутри него!
