упрощенчеством, это все же разумный способ описать различие между топологией и геометрий. В геометрии важно, что объекты изучения жесткие. Измерение длин и углов, доказательство конгруэнтности, вычисление площадей и объемов — все это требует точной и неподвижной геометрической структуры.
Выше мы видели, что в некоторых случаях жесткость и неизгибаемость геометрических фигур не нужны и, более того, только затемняют математическую сторону предмета. Изучая кёнигсбергские мосты, Эйлер обнаружил, что важна общая конфигурация, а не точные местоположения. Это наблюдение привело к созданию теории графов, одному из первых воплощений топологии. Далее мы видели, что знакопеременная сумма V — E + F зависит только от общей формы — топологии — объекта, а не от числа граней или их конфигурации. Мы заметили, что для любого сферического многогранника имеет место равенство V — E + F = 2, для многогранника с g «туннелями» — равенство V — E + F = 2 — 2g, а для любого связного планарного графа — равенство V — E + F = 1.
Поэтому нетрудно представить, что формула Эйлера может быть применима и к другим объектам, отличным от многогранников. Начнем с резинового многогранника, удовлетворяющего формуле V — E + F = 2. Можно ли изменить его форму, так чтобы было V — E + F ≠ 2? Это нелегко. Если мы просто надуем его, как воздушный шарик, так что все грани и ребра перестанут быть прямыми, то знакопеременная сумма не изменится. Если мы сожмем его, перекрутим или вытянем, то соотношение между числом вершин, ребер и граней останется неизменным. И лишь если мы ножом прорежем воздушный шарик, то знакопеременная сумма изменится (появится по крайней мере одно новое ребро). В следующей главе мы более подробно обсудим, что значит, что две формы топологически «одинаковы», и выясним, как формула Эйлера применяется к различным топологическим формам.
Математический термин «топология» относится к 1847 году (до того он применялся только в ботанике). Впервые он появился на немецком в заголовке книги Листинга «Vorstudien zur Topologie»136, хотя и до того уже десять лет использовался в переписке. На английском его впервые употребил Питер Гатри Тэйт (1831–1901) в надгробном слове Листингу в 1883 году. Он писал: «Термин топология был введен Листингом, чтобы отличить то, что может быть названо качественной геометрией, от обыкновенной геометрии, в которой рассматриваются главным образом количественные соотношения»137. Термин «топология» прижился не сразу. Такие авторитетные математики, как Анри Пуанкаре и Освальд Веблен, продолжали пользоваться французским термином analysis situs. Великий тополог начала XX века Соломон Лефшец (1884–1972) не был в восторге от этого словосочетания. Он говорил, что analysis situs — «красивый, но неуклюжий термин»138.
Восхождение Лефшеца на вершину славы любопытно. Он родился в России в 1884 году в семье евреев, бывших подданными Османской империи, рос и учился во Франции, эмигрировал в Америку и стал работать инженером в Филадельфии. В двадцать шесть лет в результате тяжелой производственной травмы он потерял обе руки и решил строить карьеру в математике. За один год он написал докторскую диссертацию в университете Кларка и некоторое время преподавал в Небраске, а затем получил место в Канзасском университете в Лоуренсе. Затем, в возрасте сорока лет, после десяти лет важной работы, его приняли на работу в Принстонский университет. За свою долгую выдающуюся карьеру он получил многочисленные награды, включая Национальную научную медаль США.
Согласно Альберту Такеру (1905–1995), одному из учеников Лефшеца, именно Лефшец популяризировал употребление термина «топология». Свою оказавшую сильное влияние книгу, написанную по просьбе Американского математического общества, он назвал «Топология». Вот что пишет Такер:
Лефшец искал выразительное и в то же время, как он говорил, «сочное» название, поэтому решил позаимствовать слово Topologie из немецкого языка. Это было странно для Лефшеца, поскольку он учился во Франции, а Пуанкаре предпочитал термин analysis situs; но, раз остановившись на нем, он развернул кампанию за его всеобщее использование. Эта кампания быстро привела к успеху, как мне кажется, прежде всего из-за производных слов: тополог, топологический, топологизировать. От analysis situs их так просто не произвести!139
Мы начнем знакомство с топологией с рассмотрения поверхностей. Примерами поверхностей являются двумерная плоскость, сфера, тор, диск и цилиндр. Поверхность — это любой объект, который локально выглядит как плоскость. Если посадить муравья на большую поверхность, то он будет думать, что сидит на двумерной глади. Умный муравей мог бы обнаружить, что поверхность не плоская, предприняв ее исследование (подобно тому, что пытался сделать Колумб, когда отправился на запад на поиски Индии), но, оставаясь на месте, он никогда этого не узнает.
Рис. 16.1. Муравей на поверхности сферы и тора
Важно понимать различие между внутренней и внешней размерностью. Муравей, сидящий на поверхности, скажет вам, что она локально двумерная — внутренняя размерность поверхности равна двум. Но чтобы мы могли построить физическую копию этой поверхности, она должна где-то находиться, размерность этого объемлющего пространства называется внешней размерностью. Внутренняя размерность сферы и тора равна двум, но они должны находиться в трехмерном пространстве, поэтому внешняя размерность равна трем. Вскоре мы встретимся со странными поверхностями, которые нельзя построить в трехмерном пространстве. Их внешняя размерность равна 4. С топологической точки зрения наиболее важна внутренняя размерность поверхности; именно поэтому мы говорим, что поверхности двумерны.
Поверхности характеризуются локальной простотой и глобальной сложностью. Иными словами, вблизи все они одинаковы. Все выглядят, как евклидова плоскость. Но глобально они могут существенно различаться. Они могут заворачиваться, иметь сквозные дыры, могут быть скрученными или завязанными в узел и т. д.
Сфера и тор — примеры замкнутых поверхностей. В них нет проколов, они не простираются в бесконечность и не имеют резких границ. Иногда мы хотим рассматривать незамкнутые поверхности. Диск и цилиндр — примеры поверхностей с краем. Поверхность с краем по-прежнему локально двумерная, но может иметь одну или более одномерных граничных кривых. Некоторые сторонники теории плоской Земли верят, что Земля имеет край. На такой планете незадачливый Колумб не добрался бы до Индии, а свалился бы через край в океан.
Для простоты мы будем использовать термин «поверхность», имея в виду компактную поверхность. Термин «компактная» означает, что поверхность ограничена и содержит все свои края. Иначе говоря, мы не рассматриваем неограниченные поверхности, такие как двумерная плоскость или цилиндрическая труба, уходящие в бесконечность в обоих направлениях. Говоря, что поверхность должна содержать все свои края, мы хотим исключить такие поверхности, как открытый единичный диск (x2 + y2 < 1). Открытым единичным диском называется множество
