20 февраля 1740 г. П. Мопертюи прочитал в Парижской Академии Статью «Закон покоя». Именно об этой статье упоминал Лагранж, излагая историю принципа возможных перемещений. Мопертюи действительно ставил своей целью в этой статье найти принцип равновесия системы тел и формулировал его как экстремальный принцип для некоторой величины, которую он называл «суммой сил покоя».
Через четыре года после этого Мопертюи выступил со статьей «Согласование различных законов природы», в которой утверждал, что законы оптики являются следствием «метафизического закона», заключающегося в том, что «природа, производя свои действия, всегда пользуется наиболее простыми средствами» и что принцип ферма является принципом наименьшего действия. Свет, по мнению Мопертюи, «выбирает путь», «для которого количество действия будет наименьшим».
Мопертюи при этом поясняет, что он понимает под «количеством действия». «Это действие, — говорит он, — зависит от скорости, имеющейся у тела, и от пространства, пробегаемого последним, но оно не является ни скоростью, ни пространством, взятыми в отдельности. Количество действия тем больше, чем больше скорость тела и чем длиннее путь, пробегаемый телом; оно пропорционально сумме произведений отрезков на скорость, с которой тело проходит каждый из них».
Принцип ферма Мопертюи выражает в виде утверждения:
Σ(mvs) = min, а не в виде:
Σ(ds/v)=min.
В своей книге «Метод нахождения кривых линий» Эйлер публикует статью «Об определении движения брошенных тел в не сопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов». «Так как все явления природы, — говорит Эйлер в этой статье,— следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, когда на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума». Далее Эйлер определяет это свойство конкретно. Обозначив массу движущегося тела через М, его скорость через
,
пройденный путь через s, он пишет: «Теперь я утверждаю, что линия, описываемая телом, будет такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же пределами, у нее будет минимум
или, так как М постоянно,
.
Поскольку
,
то
«так что для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле, в отдельные моменты времени будет наименьшей». «Таким образом, —добавляет Эйлер, откликая сь на спор о двух мерах движения,— ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те, кто — по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого».
Спор о двух мерах движения, как известно, был разрешен Даламбером(Математик и философ Жан Лерон за год до выхода книги Эйлера. «Трактат по динамике» Даламбера вышел в 1743 г. Даламбер строит динамику на трех принципах: принципе силы инерции, принципе сложения движений и принципе равновесия. «Силой инерции, — говорит Даламбер, — я вместе с Ньютоном называю свойство тел сохранять то состояние, в котором они находятся».)
Действие ускоряющей силы φ , по Даламберу, пропорционально приращению скорости:
Но u=de/dt, где е —пройденный путь,
отсюда:
Таким образом в «Динамике» Даламбера фигурирует то же уравнение движения, что и в «Механике» Эйлера.
Второй принцип динамики Даламбера—это принцип суперпозиции движений; параллелограмм скоростей и сил. На основе этого принципа Даламбер решает задачи статики.
Третий принцип, который кладет Даламбер в основу динамики, известен ныне под названием «принцип Даламбера». Его оригинальная формулировка очень громоздка и трудно понимаема, мы ее приводить не будем. Лагранж в своей «Аналитической динамике» дает такую формулировку принципа Даламбера: «Если нескольким телам сообщить движения, которые они вынуждены изменить вследствие наличия взаимодействия между ними, то ясно, что эти движения можно рассматривать как составленные из тех движений, которые тела фактически получают, и из других движений, которые уничтожаются ; отсюда следует, что эти последние должны быть такими, что если бы тела находились исключительно под их действием, то они бы взаимно друг друга уравновесили». Приведем более современную формулировку принципа Даламбера, как она была дана знаменитым русским механиком Н.Е.Жуковским в его «Курсе теоретической механики»: «В своем «Трактате динамики» Далам-бер установил общие начала, которые позволяют задачу о движении свести к вопросам о равновесии и найти связь между действующими силами, ускорениями и силами давления, натяжения и т. д.— связь, которая имеет место при рассматриваемом движении. Это достигается введением в систему действующих сил некоторых фиктивных сил, именно сил инерции. Начало Даламбера может быть сформулировано таким образом. Если в какой-нибудь момент времени остановить движущуюся систему и прибавить к ней, кроме сил, ее движущих, еще все силы, инерции, соответствующие данному моменту времени, то будет иметь место равновесие; при этом все силы давления, натяжения и т. д., которые развиваются между частями системы при таком равновесии, будут действительные силы давления, натяжения и т. д. при движении системы в рассматриваемый момент времени». Таким образом, к 1744 г. механика обогатилась двумя важными принципами; принципом Даламбера и принципом наименьшего действия Мопертюи —Эйлера. Основываясь на этих принципах, Лагранж построил законченную систему аналитической механики.
Он окончательно порвал с геометрическими методами Ньютона и с гордостью заявлял, что в его «Аналитической механике» совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи. «Я поставил себе целью,— пишет Лагранж в предисловии к своему труду,— свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи».
Жозеф Луи Лагранж родился 25 января 1736 г. в Турине. Он рано начал интересоваться математическими науками и уже в 18 лет получил самостоятельные результаты в области дифференциального, интегрального и вариационного исчислений. В 19 лет он стал профессором артиллерийской школы в Турине. Здесь он организовал ученое общество, развившееся в известную Туринскую академию, в печатном органе которой Лагранж публиковал свои мемуары, привлекшие внимание тогдашних математиков. Через пять лет, в 1759 г., двадцатитрехлетний Лагранж по представлению Эйлера был избран членом Берлинской Академии наук.
В 1766 г. он в связи с отъездом Эйлера заменял его на посту президента физико-математического класса Берлинской Академии наук и оставался на этом посту до 1787 г. В 1788 г. накануне Великой французской революции Лагранж переезжает в Париж, В этом же году выходит его труд «Аналитическая механика», изданный в Париже на французском языке.
После революции Лагранж был назначен председателем Комиссии по установлению метрической системы мер. С момента организации Нормальной и Политехнической школ Лагранж вел в них педагогическую работу и немало способствовал укреплению авторитета Политехнической школы как ведущего научного центра математических наук.
Умер Лагранж 10 апреля 1813 г.
«Аналитическая механика» Лагранжа состоит из двух основных разделов: статики и динамики. Каждому из этих разделов предпосылается вводная глава, содержащая анализ общих принципов статики и динамики. Лагранж определяет статику как науку о равновесии сил и дает определение силы как «любой причины», «которая сообщает или стремится сообщить движение телам». Лагранж указывает, что статика основана на трех принципах; принципе рычага, принципе сложения сил и принципе виртуальных скоростей Затем он переходит к изложению истории развития этих принципов. Охарактеризовав принцип рычага Архимеда, он кратко показывает его развитие Стевином, Галилеем и Гюйгенсом. Лагранж считает доказательство Гюйгенса остроумным, но недостаточным и дает свое доказательство. Равновесие рычага сводится к принципу моментов, причем под моментом «понимают произведение силы на плечо, на которое она действует».
В кратком историческом обзоре Лагранж показывает, как развивается и уточняется научная идея. Его собственные доказательства появляются как итог этого исторического развития. Таково его знаменитое доказательство принципа виртуальных скоростей, т. е. принципа возможных перемещений, история которого значительно короче, чем история принципа рычага.
Исторический подход Лагранжа к механике очень интересен и ценен. Лагранж не только разработал аналитические методы классической механики, но и явился первым историком механики. Следует отметить, что в XVIII и первой половине XIX в. исторический подход к научным проблемам был весьма распространен; история помогала глубже осознавать рождающиеся идеи, уточнять и совершенствовать их. Так было в механике, так было в электричестве и оптике.
