Исторический подход Лагранжа к механике очень интересен и ценен. Лагранж не только разработал аналитические методы классической механики, но и явился первым историком механики. Следует отметить, что в XVIII и первой половине XIX в. исторический подход к научным проблемам был весьма распространен; история помогала глубже осознавать рождающиеся идеи, уточнять и совершенствовать их. Так было в механике, так было в электричестве и оптике.
В главе «О различных принципах динамики» Лагранж определяет динамику как науку «об ускоряющих и замедляющих силах и о переменных движениях, которые они должны вызвать».
В основу динамики Лагранж кладет принцип наименьшего действия, который формулирует следующим образом: «При движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженный на элемент кривой, является максимумом или минимумом— при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные, так что вариации координат, соответствующих этим точкам, равны нулю».
Используя принцип наименьшего действия, Лагранж получает для описания движения любой системы материальных точек общую формулу:
где S - знак суммы; m - масса каждого из тел (точек) системы; х, у, z - координаты тела (точки); Р, Q, R, ...— заданные ускоряющие силы, действующие на единицу массы по направлению соответствующих центров; р, q, r,... — расстояния тел (точек) от этих центров; δр, δq, δr, ... — вариации этих расстояний.
Из этой общей формулы Лагранж выводит законы и уравнения движения системы. Закон движения центра тяжести он формулирует так: «Движение центра тяжести системы свободных тел, расположенных одно по отношению к другому совершенно произвольным образом, всегда таково, как если бы все тела были сосредоточены в одной точке и если бы в то же время каждое из них находилось под действием тех же ускоряющих сил, под влиянием которых оно находится в своем действительном состоянии». Аналитически эта теорема записывается Лагранжем в следующем виде:
где x', y', z' — координаты центра тяжести.
Теорему площадей для центральных сил Лагранж записывает в следующем виде:
где А, В, С — произвольные постоянные. Принцип сохранения живых сил Лагранж выражает в виде:
где H обозначает произвольную постоянную, равную значению левой части уравнения в заданное мгновение; П — функция, дифференциал которой равен:
dП = Pdp + Qdq + Rdr+...,
т. е., по современным представлениям, равен элементарной работе движущих сил; однако Лагранж термина «работа» не знал, равно как и термина «энергия ». Написанную выше формулу, выражающую закон сохранения энергии для консервативных сил, Лагранж называет принципом сохранения живых сил.
Далее Лагранж выводит дифференциальные уравнения движения системы. Мы их выпишем в более привычной форме. Если уравнения связей системы: φ 1 = О, φ 2 = О, ...φк = 0, то уравнения Лагранжа первого рода имеют вид:
Лагранж делает следующий важный шаг: он вводит новые переменные, «пользование которыми может максимально облегчить интегрирование». Эти «обобщенные координаты» соответствуют числу «степеней свободы», т. е. числу тех независимых параметров, которые полностью характеризуют систему. Применяя метод наименьшего действия, Л агранж получает уравнения:
Рис. 23. Воздушный термометр Амонтона
Число уравнений «в точности равно числу переменных, Ф, ..., от которых зависит положение системы в каждое мгновение». Сейчас обобщенные координаты обозначают символом, потенциальную энергию — символом U, сохраняя для кинетической энергии обозначение Лагранжа Т. Тогда, введя функцию Т - U, которую в честь Лагранжа обозначают L, его уравнения записывают так:
В современной теоретической физике уравнения Лагранжа приобрели огромное значение, далеко выходящее за пределы механики. Они применяются в термодинамике, электродинамике, атомной физике. Таким образом, Лагранж создал мощный метод, позволяющий решать большой круг задач.
Ирландский математик, механик и астроном У.Р.Гамильтон, оценивая вклад, внесенный Лагранжем в развитие механики после Галилея и Ньютона, писал: «Из числа последователей этих блестящих ученых Лагранж, пожалуй, больше, чем какой-либо другой аналитик, сделал для того, чтобы расширить и придать стройность подобным дедуктивным исследованиям, доказав, что самые разнообразные следствия, относящиеся к движению системы тел, могут быть выведены из одной основной формулы. При этом красота метода настолько соответствует достоинству результата, что эта великая работа превращается в своего рода математическую поэму». Этой поэмой завершился плодотворный период разработки основ теоретической механики.
Молекулярная физика и теплота в XVIII столетии
Если механика в XVIII столетии становится зрелой, вполне определившейся областью естествознания, то наука о теплоте делает по существу только первые шаги. Конечно, новый подход к изучению тепловых явлений наметился еще в XVII в. Термоскоп Галилея и последовавшие за ним термометры флорентийских академиков, Герике, Ньютона подготовили почву, на которой выросла уже в первой четверти нового столетия термометрия. Термометры Фаренгейта, Делиля, Ломоносова, Реомюра и Цельсия, отличаясь друг от друга конструктивными особенностями, вместе с тем определили тип термометра с двумя постоянными точками, принятый и в настоящее время.
Еще в 1703 г. парижский академик Амонтон (1663-1705) сконструировал газовый термометр, в котором температура определялась с помощью манометрической трубки, присоединенной к газовому резервуару постоянного объема. Интересный в теоретическом отношении прибор, прототип современных водородных термометров, был неудобен для практических целей. Данцигский (Гданьский) стеклодув Фаренгейт (1686—1736) с 1709 г. изготовлял спиртовые термометры с постоянными точками. С 1714 г. он начал изготовлять ртутные термометры. Точку замерзания воды Фаренгейт принимал за 32°, точку кипения воды — за 212°. За нуль Фаренгейт принимал точку замерзания смеси воды, льда и нашатыря или поваренной соли. Точку кипения воды он назвал только в 1724 г. в печатной публикации. Пользовался ли он ею раньше, неизвестно.
Французский зоолог и металлург Реомюр (1683—1757) предложил термометр с постоянной нулевой точкой, за которую он принял температуру замерзания воды. Пользуясь в качестве термометрического тела 80-процентным раствором спирта, а в окончательном варианте ртутью, он принял в качестве второй постоянной точки точку кипения воды, обозначив ее числом 80. Свой термометр Реомюр описывал в статьях, опубликованных в журнале Парижской Академии наук в 1730,1731 гг.
Проверку термометра Реомюра проводил шведский астроном Цельсий (1701—1744), описавший свои опыты в 1742 г. «Эти опыты, —писал он, —я повторял два года, во все зимние месяцы, при различной погоде и разнообразных изменениях состояния барометра и всегда находил точно такую же точку на термометре. Я помещал термометр не только в тающий лед, но также при сильных холодах приносил снег в мою комнату на огонь до тех пор, пока он не начинал таять. Я помещал также котел с тающим снегом вместе с термометром в топящуюся печь и всегда находил, что термометр показывал одну и ту же точку, если только снег лежал плотно вокруг шарика термометра». Тщательно проверив постоянство точки плавления льда, Цельсий исследовал точку кипения воды и установил, что она зависит от давления. В итоге исследований появился новый термометр, известный ныне как термометр Цельсия. Точку плавления льда Цельсий принял за 100, точку кипения воды при давлении 25 дюймов 3 линии ртутного столба—за 0. Известный шведский ботаник Карл Линней (1707—1788) пользовался термометром с переставленными значениями постоянных точек. О означал температуру плавления льда, 100 — температуру кипения воды. Таким образом, современная шкала Цельсия по существу является шкалой Линнея.
В Петербургской Академии наук академик Делиль предложил шкалу, в которой точка плавления льда принималась за 150, а точка кипения воды — за 0. Академик П. С. Паллас в своих экспедициях 1768—1774 гг. по Уралу и Сибири пользовался термометром Дели-ля. М.В.Ломоносов применял в исследованиях сконструированный им термометр со шкалой, обратной делилев-ской.
Термометры использовались прежде всего для метеорологических и геофизических целей. Ломоносов, открывший в атмосфере существование вертикальных течений, изучая зависимость плотности слоев атмосферы от температуры, приводит данные, из которых можно определить коэффициент объемного расширения воздуха, равный, по этим данным, приблизительно ]/367. Ломоносов горячо защищал приоритет петербургского академика Брауна в открытии точки замерзания ртути, который 14 декабря 1759 г. впервые заморозил ртуть с помощью охлаждающих смесей. Это была наинизшая температура, достигнутая к тому времени.
