Исходя из результатов теста Чоу на точность прогноза построим статистическую модель log(USDollar) = с + а × log(USDollar(-l)) + МА(1) на основе данных за период с октября 1998 г. по июнь 2010 г. Вывод итогов после решения этого уравнения представлен в табл. 6.22, из которой следует, что уровень значимости у всех переменных, включенных в модель, оказался равен нулю и все они оказались статистически значимыми, как при 5 %-ном, так и при 1 %-ном уровне значимости.
Судя по табл. 6.23, уменьшение базы данных способствовало росту точности стационарной статистической модели по ряду параметров. С точки зрения прогнозирования особое значение имеет тот факт, что средняя ошибка по модулю уменьшилась на 1,71 процентных пункта, т. е. весьма существенно. Правда, средняя ошибка по модулю, напротив, выросла на 4,7 коп. Но это объясняется тем фактом, что средний курс доллара за период с октября 1998 г. по июнь 2010 г. оказался равен 28,70 руб. и был в 7,41 раза выше среднего курса доллара за период с июня 1992 г. по сентябрь 1998 г., равного 3,87 руб.
Следующим шагом будет расчет точечных и интервальных прогнозов дня всех наблюдений, на основе которых составлена наша статистическая модель (за период с октября 1998 г. по июнь 2010 г.), а также на июль 2010 г. (курс доллара по этому месяцу не включен в базу данных). При этом точечный прогноз по курсу доллара на июль 2010 г., вычисленный по этой модели, оказался равен 31,02 руб. (фактический курс доллара в июле 2010 г. равнялся 30,19 руб.). Заметим, что этот прогноз оказался на 17 коп. точнее аналогичного точечного прогноза (31,19 руб.), рассчитанного по модели log(USDollar) = с +а × log(USDollar(-l)) + МА(1), построенной по данным за весь период (с июня 1992 г. по июнь 2010 г.).
Далее на основе алгоритма действий № 12 составим по модели log(USDollar) = с + а × log(USDollar(-l)) + МА(1), построенной по данным с октября 1998 г. по июнь 2010 г., соответствующие интервальные прогнозы с разными уровнями надежности. Назовем последнюю модель стационарной моделью с оптимизированным временным рядом.
Посмотрим, как у этой модели заданные уровни надежности соотносились с фактической долей точных интервальных прогнозов. После проведения соответствующих подсчетов удалось выяснить, что при 95 %-ном уровне надежности из 142 составленных по этой модели интервальных прогнозов в 138 случаях фактический курс доллара оказался в рамках интервального прогноза, т. е. получился точным. Следовательно, при 95 %-ном уровне надежности фактическая вероятность точного интервального прогноза у стационарной модели с оптимизированным временным рядом достигла 97,2 %, т. е. получилась на 2,2 процентного пункта выше заданного 95 %-ного уровня надежности. Судя по табл. 6.24, доля точных прогнозов по этой модели оказалась незначительно ниже заданного уровня надежности лишь при 99,9 %-ном уровне. В то время как при 99 %-ном уровне надежности и ниже доля точных фактических прогнозов становится выше заданного уровня. Причем эта положительная разница достигает максимума при 40 %-ном уровне надежности, когда она равна 26,2 процентного пункта.
Если сравнить данные табл. 6.24 с данными табл. 6.18, то легко сделать вывод, что интервальные прогнозы, составленные по модели log(USDollar) = с + а × log(USDollar(-l)) + МА(1) с оптимизированным временным рядом, получились надежнее интервальных прогнозов, рассчитанных на основе аналогичной модели с полным временным рядом.
У стационарной модели, построенной на основе базы данных за период с октября 1998 г. по июнь 2010 г., есть еще один весьма ощутимый плюс — у нее более приемлемый диапазон интервальных прогнозов. Так, при прогнозе на октябрь 1998 г. общий диапазон интервального прогноза (верхняя граница интервального прогноза минус нижняя граница интервального прогноза) при 95 %-ном уровне надежности составил 1,84 руб. (табл. 6.25), или 11,48 % от фактического курса доллара, который тогда равнялся 16,01 руб. В то время как при прогнозе на июль 2010 г. общий диапазон интервального прогноза был равен 2,96 руб., или 9,79 % от фактического курса доллара, который тогда равнялся 30,19 руб. Нетрудно также заметить, что за счет уменьшения стандартного отклонения (в структурно стабильном временном ряде, естественно, наблюдается более низкий уровень волатильности) ширина диапазона интервального прогноза в табл. 6.25 существенно меньше, чем в табл. 6.19.
В заключение остановимся на таком важном моменте прогнозирования, как сравнение индекса оптимальности четырех статистических моделей. Дело в том, что наряду с точностью интервальных прогнозов необходимо оценить и их оптимальность, т. е. позаботиться о том, чтобы средняя ширина интервального прогноза (верхняя граница интервального прогноза минус нижняя граница интервального прогноза) не была слишком велика, поскольку это снижает ценность прогноза для инвестора. С этой целью сравним четыре важных параметра по четырем ранее разработанным статистическим моделям (табл. 6.26). Причем наиболее важным среди четырех параметров таблицы является индекс оптимальности интервальных прогнозов, который находится по следующей формуле:
Индекс оптимальности интервальных прогнозов = Средний диапазон интервального прогноза (руб): Точность интервальных прогнозов (при 95 %-ном уровне надежности).
(6.10)
Следовательно, чем ниже индекс оптимальности интервальных прогнозов, тем лучше конкретная статистическая модель. Таким образом, первое место по этому показателю занимает стационарная модель с оптимизированным временным рядом, в то время как последнее — стационарная модель с полным временным рядом. При этом индекс оптимальности интервальных прогнозов у первой модели равен
0,0276, а это означает, что на один процентный пункт точности интервальных прогнозов (при 95 %-ном уровне надежности) у нее приходится 2,76 коп. среднего диапазона интервального прогноза, в то время как один процентный пункт точности интервальных прогнозов у стационарной модели с полным временным рядом обошелся в 5,54 коп. среднего диапазона интервального прогноза, т. е. в последнем случае точность обошлась гораздо дороже.
Заметим также, что представленный в таблице средний диапазон интервального прогноза (руб.) вычислен путем суммирования всех диапазонов интервального прогноза по определенной статистической модели, которые затем делятся на общее количество наблюдений во временном ряде. В свою очередь средний диапазон интервального прогноза (%) находится по следующей формуле:
