Особое значение имели работы Эйлера и Д. Бернулли о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных этой задачи записал впервые Даламбер, выразивший общее решение задачи в виде суммы двух произвольных функций, которые можно полностью определить, зная начальную форму струны и начальное распределение скоростей ее точек (1747). Эйлер немедленно развил далее метод Даламбера (метод характеристик) и показал, как графически строить форму струны в любой момент времени по начальным условиям (1748). Д. Бернулли предложил представлять колебание струны в виде суммы бесконечного числа главных синусоидальных колебании (принцип суперпозиции), т. е. выражать решение в форме тригонометрического ряда (1753).
Не касаясь долгого «спора о струне», в котором участвовали все трое названных ученых, а затем и многие другие ученые XVIII в.[32], мы заметим только, что исследование этой задачи положило начало в высшей степени плодотворной разработке приемов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными, с одной стороны, и теории тригонометрических рядов — с другой. Задача о струне обыкновенно относится к области математической физики, дисциплины, во многом пересекающейся с теоретической механикой. Д. Бернулли и Эйлер рассмотрели и другие важные задачи математической физики. Так, в статье «О колебательном движении тимпанов», напечатанной в X томе «Novi Commentarii» за 1764 г., Эйлер исследовал малые колебания и провисание идеальной гибкой мембраны прямоугольной или круговой формы. Используя идеи этой работы Эйлера, племянник Д. Бернулли Якоб II Бернулли (1759—1789), состоявший членом Петербургской академии наук в 1786—1789 гг., исследовал задачу о малых колебаниях пластинки. Математическим результатом здесь, как и в гидродинамике, являлось введение новых типов дифференциальных уравнений, новых приемов их решения, различных специальных функций и их разложений в ряды и т. д.
Наконец, Эйлеру и Д. Бернулли принадлежит решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался также Лагранж{171}.
ТРУДЫ ДАЛАМБЕРА ПО МЕХАНИКЕ
Жан Лерон Даламбер (1717—1783) был крупным французским математиком, механиком и философом периода подготовки Великой французской революции. Незаконнорожденный сын аристократки, он был найден на паперти церкви св. Иоанна Круглого (Jean le Rond), откуда и его имя, и воспитан бедным стекольщиком Аламбером — откуда его фамилия d'Alembert.
Выдвинувшись благодаря своим исключительным способностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в том числе с 1764 г. почетным членом Петербургской академии наук.
Мы здесь не касаемся философско-просветительской деятельности Даламбера, сыгравшей существенную роль в социологической подготовке Великой французской революции; упомянем только, что по своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического материализма и что в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713— 1784) основал знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел». Даламберу принадлежит вступительная статья в «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк происхождения и развития наук», где приведена классификация наук. В первых томах «Энциклопедии» он опубликовал важные статьи по математике и механике — «Предел», «Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».
Мы не будем также останавливаться на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике. Например, изучение теории функция комплексного переменного понадобилось Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково, например, «уравнение струны»).
Остановимся на работах Даламбера по механике. К середине XVIII в. его работы вместе с исследованиями Леонарда Эйлера и Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала наукой, охватывающей все виды движения материальных точек и их систем, а по форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все достижения математического анализа.
Даламберу принадлежат работы как по общим проблемам механики, так и по гидродинамике, теории колебаний и волн, теории движения твердого тела, небесной механике и др.
В 1743 г. был опубликован основной труд Даламбера по механике — его знаменитый «Трактат о динамике». Первая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики. Здесь Даламбер формулирует «основные принципы механики», которыми он считает «принцип инерции», «принцип сложения движений» и «принцип равновесия». «Принцип инерции» сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного движения. «Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения скоростей по правилу параллелограмма. «Принцип равновесия» сформулирован в виде следующей теоремы: «Если два тела, обладающие скоростями, обратно пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами будет иметь место равновесие». Во второй части трактата, называемой «Общий принцип для нахождения движения многих тел, произвольным образом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи динамики к статике. Здесь для любой системы материальных точек формулируется правило, названное впоследствии принципом Даламбера, согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить на «действующие», т. е. вызывающие ускорение системы, и «потерянные» необходимые для равновесия системы.
Даламбер считает, что силы, соответствующие «потерянным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая не влияет на фактическое поведение системы.
ЖАН ЛЕРОН ДАЛАМБЕР (1717—1783)
Французский математик, механик и философ. Даламбер сформулировал принцип механики, носящий его имя
Иными словами, если к системе приложить только совокупность «потерянных» сил, то система останется в покое.
Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для решения которых, по мнению Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел, соударяющихся произвольным образом, движение системы тел, связанных стержнями и нитями, и др. В «Трактате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при помощи нитей или жестких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изложении своего принципа не пользовался ни понятием силы (считая, что оно не обладает достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем более понятием силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина «сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. В дальнейшем (с начала XIX в.) вектор m1w1 стали называть силой инерции материальной точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбера, трактовать как утверждение о равновесии между приложенными к системе силами и силами инерции.
Значение принципа Даламбер видел в общности подхода к задачам механики. Высокую оценку труду Даламбера дал Лагранж, по мнению которого, хотя «…этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходимых для решения проблем динамики, но он показывает, каким образом они могут быть выведены из условий равновесия».
Существенные результаты получил Даламбер в динамике твердого тела и небесной механике. В 1749 г. был опубликован его мемуар «Исследования о предварении равнодействий и нутаций оси Земли», в котором рассматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием сил притяжения к Солнцу и Луне. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя главные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмотрел малые колебания Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения и привел полное динамическое объяснение. В 1751 г. в работе «О движении тела произвольной формы под действием любых сил» Даламбер дал более систематическое изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно центра инерции. А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для притяжения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756) получил более общие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих форму эллипсоида.
