Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших результатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.
ИССЛЕДОВАНИЯ ПУАССОНА ПО МЕХАНИКЕ
Симеон Дени Пуассон (1781 —1840) — выдающийся французский механик, математик и физик, научная деятельность которого тесно связана с традициями Политехнической школы. Эта школа была ведущим высшим учебным заведением Франции, поступающие в нее отбирались по жесточайшему конкурсу, а к преподаванию были привлечены лучшие ученые Франции, среди них Монж, Лагранж, Лаплас, Лакруа, Фурье. С.Д. Пуассон в 1798 г. в возрасте 17 лет поступил в эту школу, пройдя первым по конкурсу. Еще будучи учеником школы, он представил свою первую научную работу «О числе полных интегралов уравнений с конечными разностями», которая по предложению академиков Лежандра и Лакруа была опубликована. По окончании в 1800 г. Политехнической школы Пуассон был оставлен при кафедре математического анализа, руководителем которой он стал в 1806 г. В 1809 г. Пуассон был назначен профессором рациональной механики в Сорбонне.
С момента окончания Политехнической школы и до конца жизни Пуассон вел преподавательскую работу в высших учебных заведениях Франции. В 1837 г. ему как члену Королевского совета было поручено руководство преподаванием математики во всех колледжах Франции. За выдающиеся научные заслуги Пуассон в 1812 г. был избран действительным членом Парижской академии наук, а в 1826 — почетным членом Петербургской академии наук. Многочисленные исследования Пуассона охватывают все области науки, которая в то время называлась чистой и прикладной математикой. Список его сочинений составляет свыше 350 работ (не считая отдельно изданных сочинений) — это значит, что с 1800 по 1840 г. он публиковал в среднем по девять работ в год. В отношении стиля и характера своих работ Пуассон следовал Эйлеру и Лагранжу, труды которых он знал в совершенстве.
В области математики большой интерес представляют работы Пуассона по определенным интегралам, по уравнениям в конечных разностях, по теории дифференциальных уравнений с частными производными (уравнение Пуассона, интеграл Пуассона), по теории вероятностей (распределение Пуассона, теорема Пуассона). Чрезвычайно велик был диапазон его интересов в области механики. Многочисленные работы Пуассона охватывают разнообразные проблемы теоретической и небесной механики, теории притяжения, гидродинамики, теории упругости, теории колебаний, баллистики и теории механизмов и машин.
Наиболее фундаментальные его труды посвящены вопросам аналитической механики и математической физики. В исследованиях Пуассона этого цикла сказалось влияние и аналитических методов Лагранжа (в особенности в небесной механике), молекулярных представлений Лапласа (гидродинамика, механика деформируемых сред) и научного наследия Эйлера.
В области небесной механики наибольший интерес представляют его труды, в которых рассматриваются вопросы устойчивости Солнечной системы и выводятся дифференциальные уравнения возмущенного движения. При выводе этих уравнений Пуассон применил метод, в котором ввел выражение, названное впоследствии скобками Пуассона, которое получило широкое применение во многих вопросах теории уравнений с частными производными и аналитической механики. Развив методы вариации произвольных постоянных Лагранжа, Пуассон получил в явном виде выражение вариации элементов орбиты небесного тела через производные пертурбационной функции по координатам для одного из шести элементов его орбиты.
В теории притяжения особый интерес представляют его статья «Замечания об уравнении теории притяжений» (1813) и два мемуара — «О притяжении сфероидов» (1829) и «О притяжении однородных эллипсоидов» (1835), в которых он выводит свое знаменитое уравнение с частными производными Δu = f, (где Δ — оператор Лапласа) — одну из основ теории потенциала.
СИМЕОН ДЕНИ ПУАССОН (1781—1840)
Французский математику механик, физик. Пуассону принадлежат важные работы по аналитической и небесной механике, теории упругости, математической физике и по различным разделам математики
Пуассон был одним из основоположников математической теории упругости. В 1819 г. он нашел решение уравнения теории упругости для одномерного случая, а в 1829—1831 гг. — для двумерного и трехмерного случаев. Его имя носит одна из основных констант теории упругости изотропных тел — коэффициент Пуассона, т. е. абсолютное значение отношения величины относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации. Его вывод общего уравнения теории упругости сыграл существенную роль в теории колебаний и волн вообще и в исследовании звуковых волн в частности. В «Мемуаре об общих уравнениях равновесия и движения твердых тел и жидкостей» Пуассон впервые включил в систему дифференциальных уравнений движения жидкости уравнение теплопроводности. Его имя носит кривая, характеризующая обратимый адиабатический процесс в идеальном газе (адиабата Пуассона), уравнение которой Пуассон вывел в 1823 г.
Достижения Пуассона в области аналитической механики наиболее полно изложены в его двухтомном «Курсе механики», первое издание которого вышло в 1811 г. Этот труд, основанный на традициях Лагранжа и Лапласа, отличается в то же время большей доступностью и примерами из многих областей механики и смежных с ней разделов физики. Долгое время он был одним из лучших руководств по механике.
«Курс механики» состоит из четырех частей: статики, динамики, гидростатики и гидродинамики. В разделе статики Пуассон рассматривает условие равновесия «простых машин», с помощью которого переходит к общему закону равновесия тел. Этот закон он выводит, пользуясь принципом виртуальных перемещений, рассматривая как сами перемещения, так и проекции малых путей, описываемых точками приложения сил, на их направления. При изложении динамики Пуассон исходит из основных ее принципов: сохранения движения центра тяжести, сохранения площадей и живых сил. Исходя из последнего он показывает, почему при устройстве машин следует избегать явлений трения и удара тел. Пуассону аналитическая механика обязана и переходом от понятия обобщенных скоростей
к их линейной комбинации — обобщенным импульсам
которые он впервые ввел в «Мемуаре о вариации произвольных постоянных в вопросах механики» (1809). В «Курсе механики» он использует это новое соотношение в виде
Многие вопросы статики и динамики разработаны в нем в виде, удобном для приложений.
«Курс механики» неоднократно переиздавался, и в него были введены разделы, посвященные прикладной механике. В частности, в издание 1833 г. включен раздел, посвященный механике машин «О применении принципа живых сил к вычислению движения машин», в котором Пауссон рассматривает построение уравнения движения машины в общем виде. «Машины, по его определению, суть приспособления или системы твердых тел, предназначенные для переноса сил от одной части этих приспособлений к любой из иных частей». Заметим, что до Пуассона вопросами механики машин обычно занимались представители геометрического направления в механике, а представители аналитического направления обходили их стороной. Пуассон впервые применил аналитические методы к разработке подобных прикладных проблем, и в этом смысле его «Курс механики» явился одним из камней, заложенных в фундамент прикладной механики. Труды Пуассона, и в частности «Курс механики», на котором было воспитано не одно поколение французских ученых, сыграли значительную роль в развитии многих узловых проблем механики.
Закончим наш краткий обзор следующим диалогом Лагранжа с Пуассоном. «Я стар, — сказал однажды Лагранж Пуассону, — во время моих бессонных ночей я развлекаюсь числовыми сравнениями; выслушайте меня, это любопытно. Гюйгенс тринадцатью годами был старше Ньютона; я тринадцатью годами старше Лапласа; Лаплас тридцатью двумя годами старше вас»{178}.
Гениальный Лагранж весьма тонко и деликатно включил Пуассона в число великих творцов механики.
VII.
МЕХАНИКА В XIX ВЕКЕ
РОЛЬ ГАМИЛЬТОНА В РАЗВИТИИ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ
Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из гениальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными разнообразными способностями. В четырехлетнем возрасте он неплохо знал географию и свободно читал литературу на английском языке, а восьми лет овладел итальянским и французским языками, изучал арабский, санскрит и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.
