Лучи солнца несколько уменьшили эйфорию Гейзенберга. Получалось, что его теория работает, только если справедливо очень странное правило умножения: надо, чтобы X, умноженное на Y, не было равно Y, умноженному на X. Для обычных чисел не имеет значения, в каком порядке они перемножаются: 4 x 5 = 20 и 5 x 4 = 20. Когда при умножении результат не зависит от перестановки сомножителей, математики говорят о коммутативности умножения. Для обычных чисел коммутативный закон выполняется, так что всегда (4 x 5) — (5 x 4) = 0. Это правило знает и ребенок. Поэтому Гейзенберг сильно встревожился, когда понял, что для введенных им таблиц результат зависит от того, в каком порядке они перемножаются. Это значит, что разность (А x В) — (В x A) не всегда равна нулю40.
Так и не поняв, что могло бы значить это необычное правило умножения, Гейзенберг вернулся на материк 19 июня, в пятницу, и сразу отправился в Гамбург к Вольфгангу Паули. Через несколько часов, получив одобрение самого строгого своего критика, он уехал в Геттинген. Ему предстояло закончить работу и записать результаты. Уже через два дня Гейзенберг, решивший было, что дело пойдет быстро, известил Паули, что “построение квантовой механики продвигается очень медленно”41. Шли дни, надежды рушились, а ему все не удавалось описать атом водорода с помощью нового подхода.
Какие бы сомнения ни мучили Гейзенберга, он был уверен в одном: при любых вычислениях имеют смысл только соотношения, связывающие “наблюдаемые” величины, то есть те, которые в принципе, если не в реальном эксперименте, могут быть измерены. В своих уравнениях требованию наблюдаемости всех величин он присвоил статус постулата, а все его, как он считал, “недостаточные усилия” были направлены на “вытравливание памяти об орбитах, которые наблюдать нельзя, и замене этого понятия на более подходящее”42.
“Сейчас моя работа продвигается не слишком хорошо”, — в конце июня написал Гейзенберг отцу. Но прошло всего чуть больше недели, и он закончил статью, возвестившую начало новой эры в квантовой физике. Все еще не до конца уверенный в результатах и в том, что они означают, Гейзенберг послал экземпляр статьи Паули. Извиняясь, он просил прочесть статью и вернуть ее через два-три дня. Спешка была связана с тем, что на 28 июля у Гейзенберга была назначена лекция в Кембриджском университете. Принимая во внимание и другие обязательства, было маловероятно, что он вернется в Геттинген до конца сентября. Поэтому ему хотелось “закончить статью за те несколько дней, что я еще здесь, либо сжечь ее”43. Паули “восторженно” приветствовал статью44. Он написал товарищу, что эта работа “возрождает надежду и возвращает радость жизни... Хотя это еще не ответ на загадку, я верю, что снова появилась возможность двигаться вперед”45. Человеком, начавшим движение в правильном направлении, был Макс Борн.
Борн имел слабое представление о том, чем занимался Гейзенберг после возвращения с моря. Поэтому он был удивлен, когда тот вручил ему статью и потребовал, чтобы он вынес свой приговор: стоит ее печатать или нет. Борн устал и на какое-то время отложил статью в сторону. Однако через несколько дней, взявшись за чтение этой, как ее назвал Гейзенберг, “сумасшедшей статьи” и разобравшись в ней до конца, Борн пришел в восторг. Он понимал: Гейзенберг, что совсем на него не похоже, сомневается в своей теории. Не связано ли это с тем, что ему пришлось использовать такое странное правило коммутации? В заключении статьи Гейзенберг написал: “Можно ли считать удовлетворительным предложенный здесь метод определения квантово-механических данных по соотношениям для наблюдаемых величин, или в конце концов он окажется слишком грубым для построения теоретической квантовой механики, что представляется очень актуальной задачей, можно будет решить только при более углубленном математическом исследовании метода, используемого здесь без достаточного обоснования”46. Из этого было ясно, что он продолжает двигаться на ощупь.
Что же означает это загадочное правило умножения? Этот вопрос настолько заинтриговал Борна, что следующие несколько дней и ночей он и думать не мог ни о чем другом. У него возникло неясное ощущение, что он уже встречал это правило, но указать точно, о чем идет речь, не мог. “Последняя работа Гейзенберга (она скоро будет опубликована) представляется достаточно таинственной, но наверняка она правильна и содержательна”, — написал Борн Эйнштейну, хотя все еще не мог объяснить происхождение такого странного правила умножения47. Воздавая должное молодым сотрудникам своего института, особенно Гейзенбергу, Борн заметил, что “иногда мне трудно даже просто быть в курсе того, что их занимает”48. Несколько дней он думал только о статье Гейзенберга. И был вознагражден. Однажды утром он вспомнил давно забытую лекцию, услышанную в студенческие годы. Он сообразил, что Гейзенберг неожиданно для себя столкнулся с умножением матриц. В этом случае X, помноженное на Y, не всегда равно Y, помноженному на Х.
Когда Гейзенбергу сказали, что тайна странного правила умножения раскрыта, он пожаловался: “Я никогда даже не слышал о матрицах”49. Матрица — это таблица из чисел, помещенных в определенных местах строк и столбцов, точно такая же, как построенная Гейзенбергом на острове Гельголанд. В середине XIX века английский математик Артур Кэли сформулировал правила, позволяющие складывать, вычитать и перемножать матрицы. Если А и В — матрицы, то при умножении А х В может получиться иной ответ, нежели чем для В х А. Точно так же, как таблицы Гейзенберга, матрицы не обязательно коммутируют. Хотя матрицы уже были прочно вписаны в математический ландшафт, они были терра инкогнита для теоретиков поколения Гейзенберга.
После того как Борн правильно определил, с чем связано странное правило умножения, он понял, что если он хочет поместить схему Гейзенберга в рамки логически последовательной теории, охватывающей все разнообразные аспекты атомной физики, ему понадобится помощь. Борн знал, кто лучше всего подходит для такой работы. Этот человек хорошо разбирался в сложных вопросах и квантовой физики, и математики. По счастью, он тоже будет в Ганновере на собрании Немецкого физического общества, куда собирался Борн. Оказавшись там, он сразу принялся разыскивать Вольфганга Паули. Борн предложил бывшему ассистенту работать вместе. Паули отказался. Он ни в какой мере не желал участвовать в планах Борна: “Я знаю, вы безумно любите сложные и запутанные расчеты. Вы только испортите физические рассуждения Гейзенберга вашей бесполезной математикой”50. В отчаянии, чувствуя, что сам дальше продвинуться не может, Борн обратился к одному из своих студентов.
Похоже, для предстоящей работы нельзя было придумать лучшего помощника, чем двадцатидвухлетний Паскуаль Йордан, выбранный Борном фактически наугад. В 1921 году Йордан поступил в Ганноверский технический университет. Сначала он хотел изучать физику, но лекции показались ему неинтересными, и Йордан занялся математикой. А через год он перевелся в Геттинген, где опять занялся физикой. Однако на лекции Йордан попадал редко: они начинались в семь или восемь часов утра. Затем он познакомился с Борном. Серьезно заниматься физикой он начал под его руководством. “Он был не только учителем, открывшим мне, студенту, замечательный мир физики. В его лекциях чудесным образом сочетались ясность мышления и способность к обобщению, раскрывающая перед нами новые горизонты... Этот человек наряду с моими родителями всю жизнь оказывал на меня самое сильное влияние”, — позднее отзывался Йордан о Борне51.
Под руководством Борна Йордан вскоре начал интересоваться задачами, связанными с атомными структурами. Несколько неуверенный в себе, заикающийся, Йордан высоко ценил терпение, которое проявлял Борн, обсуждая последние работы по атомной теории с учениками. Случайно вышло так, что в Геттингене он присутствовал на знаменитом “фестивале” Бора. Как и на Гейзенберга, на Йордана большое впечатление произвели и лекции, и следовавшие за ними дискуссии. После защиты докторской диссертации в 1924 году Йордан недолго работал с другими сотрудниками Геттингенского университета. Вскоре Борн предложил ему работать с ним и попытаться вместе найти способ, позволяющий объяснить, чем определяется ширина спектральных линий. “Йордан удивительно умен и сообразителен. Он может думать значительно быстрее и совершать меньше ошибок, чем я”, — написал Борн Эйнштейну в июле 1925 года52.
К тому времени Йордан уже слышал о последних идеях Гейзенберга. В конце июля, до своего отъезда из Геттингена, Гейзенберг провел семинар для узкого круга студентов и друзей. Он рассказал о своих попытках построить квантовую механику, основываясь только на соотношениях между наблюдаемыми величинами. Когда Борн предложил сотрудничать, Йордан ухватился за возможность переформулировать и доработать идеи Гейзенберга, превратив их в систематическую теорию — квантовую механику. Посылая статью Гейзенберга в журнал “Цайтшрифт фюр физик”, Борн не знал, что Йордан, хорошо разбирающийся в математике, знаком и с теорией матриц. С ее помощью Борн и Йордан за два месяца заложили основы новой квантовой механики. Позже ее назовут матричной механикой53.
