Если волновая функция y (x) известна, то, взяв этот интеграл, вы получите среднюю энергию. Вы теперь начинаете понимать, как от представлений о волновом векторе можно перейти к представлению о волновой функции и обратно.
Величина в фигурных скобках в (18.27) это алгебраический оператор. [«Оператор» V(x) означает «умножь на V(x)».]Мы обозначим его
В этих обозначениях (18.23) превращается в
Определенный здесь алгебраический оператор, конечно, не тождествен с квантовомеханическим оператором Н^. Новый оператор действует на функцию координаты y(x)=<x|y>, образуя новую функцию от х, j(x)=<x|j>, а H^ действует на вектор состояния |y>, образуя другой вектор состояния |ф>, причем не имеется в виду ни координатное, ни вообще какое-либо частное представление. Мало того, даже в координатном представлении не совсем то же, что Н^. Если бы мы решили работать в координатном представлении, то смысл оператору H^ пришлось бы придавать с помощью матрицы <x|H^|x'>, которая как-то зависит от двух «индексов» x и x'; иначе говоря, следовало бы ожидать, что [как утверждает (18.25)] <x|j> связано со всеми амплитудами <x|y> операцией интегрирования. А с другой стороны, мы нашли, что — это дифференциальный оператор. Связь между <x|H^|х'> и алгебраическим оператором
мы уже выясняли в гл. 14, § 5.
Наши результаты нуждаются в одном уточнении. Мы предположили, что амплитуда y (x)=<x|y> нормирована, т, е. масштабы выбраны так, что
и вероятность увидеть электрон все равно где равна единице. Но вы могли бы, если бы захотели работать с ненормированной y (х), следовало бы только писать
Это одно и то же.
Обратите внимание на сходство между (18.28) и (18.18). Оба эти способа записи одного и того же результата при работе в x-представлении часто встречаются. От первого можно перейти ко второму, если А^ — локальный оператор, т. е. такой, для которого интеграл
может быть записан в виде, где — дифференциальный алгебраический оператор. Однако встречаются операторы, для которых это неверно. Тогда приходится работать с исходными уравнениями (18.21) и (18.22).
Наш вывод легко обобщается на три измерения. Итог таков:
где
причем подразумевается, что
Такие же уравнения получаются довольно очевидным образом и при обобщении на системы с несколькими электронами, но мы не будем сейчас заниматься выписыванием результатов.
С помощью (18.30) можно рассчитать среднюю энергию атомного состояния, даже не зная уровней энергии. Нужна только волновая функция. Это очень важный закон. Расскажем об одном интересном его применении. Пусть вам нужно узнать энергию основного состояния некоторой системы, скажем атома гелия, но вы затрудняетесь решить уравнение Шредингера для волновой функции из-за большого числа переменных. Положим, однако, что вы решили попробовать какую-то волновую функцию (выбрав ее по своему желанию) и подсчитать среднюю энергию. Иначе говоря, вы пользуетесь уравнением (18.29), обобщенным на три измерения, чтобы узнать, какова была бы средняя энергия, если бы атом был на самом деле в состоянии, описываемом этой волновой функцией. Эта энергия, бесспорно, окажется выше энергии основного состояния — самой низкой энергии, какую может иметь атом. Возьмем теперь новую функцию и вычислим новую среднюю энергию. Если она ниже, чем было при первом вашем выборе, значит, вы подошли ближе к истинной энергии основного состояния. Если вы немного поразмыслите, вы, конечно, начнете пробовать такие функции, в которых есть несколько свободных параметров. Тогда энергия выразится через эти параметры. Варьируя параметры так, чтобы получить наинизшую мыслимую энергию, вы тем самым перепробуете за один раз целый класс функций. Скорее всего вы обнаружите, что понижать энергию становится все труднее и труднее, т. е. начнете убеждаться в том, что уже довольно близко подошли к наинизшей возможной энергии. Именно так и был решен атом гелия — никаких дифференциальных уравнений не решали, а составили особые функции со множеством поддающихся подгонке параметров, которые были подобраны так, чтобы дать средней энергии наинизшее значение.
§ 4. Оператор места
Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |y> каково среднее значение координаты х?Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией y (x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить
электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х)меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.
Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.
Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.
Мы видели раньше, что P(x)=| y (x)|2=y*(x) y(х), значит, среднее х можно записать в виде
Наше уравнение для <x>ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя y оператор, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».)Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали
где
и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |a>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |a>, чтобы было
Разложим сперва <y|a> по x-представлению:
Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)
Воздействие на |y> оператора х^ для получения |a> равнозначно умножению y (x)=<x|y> на х для получения a (х)=<x|a>. Перед нами определение оператора х^ в координатном представлении.
(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора х^. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что
Тогда вы сможете доказать поразительную формулу
т. е. что оператор х^ обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)
А может, вы хотите знать среднее значение x2? Оно равно
Или, если желаете, можно написать и так:
где
Под x^2 подразумевается х^х^ — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x2>ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хnили любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.
§ 5. Оператор импульса
Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда
Обозначим теперь через <р|y> амплитуду того, что состояние |y> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|y>; она является функцией от р, как <x|y> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было
