В нем три части. Во-первых, у электрона, который находится в точке х, есть некоторая энергия Е0. Это, как обычно, дает член Е0С(х). Затем имеется член — КС(х+b), т. е. амплитуда того, что электрон от атома n+1, расположенного в х+b, отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происходит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1). Если Ахна расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения Ахпосредине, умноженного на расстояние. Итак, произведение (iq/h) на интеграл равно ibf(x+b/2). А раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. И точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз уже берется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоянии b/2, и умножается на расстояние b. Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окажется в точке х.
Но дальше мы знаем, что если функция С(х)достаточно плавная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте. Поэтому следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням b, считая b очень малым. К примеру, если b=0, то правая часть будет равна просто (Е0-2К)С(х), так что в нулевом приближении энергия равняется Е0-2К. Затем пойдут степени b, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), f(x) и экспоненты и соберете затем члены с b2, вы получите
(штрихи обозначают дифференцирование по х).
Это ужасное нагромождение разных букв выглядит очень сложно. Но математически оно в точности совпадает с
Вторая скобка, действуя на С(х), даст С'(х)минус if(x)C(x). Первая скобка, действуя на эти два члена, даст член с С", члены с первыми производными f(x) и с первой производной С(х). А теперь вспомните, что решения в нулевом магнитном поле (см. гл. 11, §3) изображают частицу с эффективной массой mэфф, даваемой формулой
Kb2=h/mэфф
Если вы затем положите Е0=+2К и снова вернетесь к f(x)=(q/h)Ax, то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенциальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверждение (19.1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса (h/i)Сзаменяется на (h/i)С-qA, как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3).
§ 2. Уравнение непрерывности для вероятностей
Перехожу теперь ко второму пункту. Важную сторону уравнения Шредингера отдельной частицы составляет идея о том, что вероятность обнаружить частицу в каком-то месте определяется квадратом абсолютной величины волновой функции. Для квантовой механики характерно также то, что вероятность сохраняется локально (т. е. в каждом отдельном месте). Когда вероятность обнаружить электрон в таком-то месте убывает, а вероятность обнаружить его в каком-то другом месте возрастает (так что полная вероятность не меняется), то что-то в промежутке между этими местами должно было произойти. Иными словами, электрон обладает непрерывностью в том смысле, что если вероятность спадает в одном месте и возрастает в другом, то между этими местами должно что-то протекать. Так, если вы между ними поставите стенку, то это скажется на вероятностях и они станут не такими, как были. Следовательно, одно только сохранение вероятности не есть полная формулировка закона сохранения, все равно как одно только сохранение энергии не обладает такой глубиной и не представляет такой важности, как локальное сохранение энергии [см. гл. 27, § 1 (вып. 6)]. Если энергия исчезает, то этому должен соответствовать отток энергии от этого места. Вот и у вероятности хотелось бы обнаружить такой же «ток». Хотелось бы, чтобы было так: если где-нибудь переменится плотность вероятности (вероятность обнаружить что-то там такое в единице объема), то чтобы можно было считать, что вероятность откуда-то сюда притекла (или утекла отсюда куда-то еще). Такой ток был бы вектором, который можно было бы толковать следующим образом: его x-компонента была бы чистой вероятностью (в секунду и на единицу объема) того, что частица пройдет в направлении х через плоскость, параллельную плоскости yz. Проход в направлении +x считается положительным потоком, а проход в обратную сторону — отрицательным потоком.
Существует ли такой ток? Вы знаете, что плотность вероятности P(r, t) выражается через волновую функцию
И вот, я спрашиваю: существует ли такой ток J, что
Если я продифференцирую (19.7) по времени, то получу два слагаемых
Теперь для дy/дt возьмите уравнение Шредингера — уравнение (19.3); кроме того, комплексно его сопрягите, т. е. перемените знак при каждом i, чтобы получить дyj/дt. У вас выйдет
Члены с потенциальной энергией и многие другие члены взаимно уничтожатся. А то, что останется, оказывается, действительно можно записать в виде полной дивергенции. Все уравнение целиком эквивалентно уравнению
Не так уж сложно, как кажется на первый взгляд. Это симметричная комбинация из y*, умноженного на некоторую операцию над y, плюс y, умноженное на комплексно сопряженную операцию над y*. Это просто некоторая величина плюс комплексно сопряженная ей величина, так что все вместе (как и положено быть) вещественно. Операция запоминается так: это попросту оператор импульса минус qA.. Ток из (19.8) я могу записать в виде
Тогда это и есть тот ток J, который удовлетворяет уравнению (19.8).
Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями. Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так далеко, что имеется нулевая вероятность обнаружить на ней электрон. Полная вероятность обнаружить электрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от Р. Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции J равняется поверхностному интегралу от J. Если y на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и J есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться. Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу. Мы вправе говорить, что она выбирается наружу только через поверхность— это и есть локальная сохраняемость.
§ 3. Два рода импульсов
Уравнение для тока довольно интересно, хотя порой причиняет немало забот. Ток можно было бы считать чем-то вроде произведения плотности частиц на скорость. Плотность выглядела бы как yy*, так что здесь все в порядке. Каждый член в (19.12) напоминает типичное выражение для среднего значения оператора
Поэтому, быть может, следовало бы рассматривать его как скорость потока? Но тогда получается, что скорость с импульсом можно связать двояким образом, ведь с равным правом можно было бы считать, что скоростью должно быть отношение импульса к массе. Эти две возможности разнятся на вектор-потенциал.
Оказывается, те же две возможности имелись еще в классической физике, и в ней тоже было найдено, что импульс можно определить двумя путями. Один можно назвать «кинематическим импульсом», но для абсолютной ясности я в этой лекции буду его называть «mv-импульсом». Это импульс, получаемый от перемножения массы на скорость. Другой, более математичный, более отвлеченный импульс, именуемый иногда «динамическим импульсом», а я его буду называть «р-импульс». Итак, у нас есть две возможности:
