может быть записана так:
Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |y> (назовем его полным импульсом) равняется
Но это все равно, что написать
Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.
§ 6. Момент количества движения
Для интереса рассмотрим еще одну операцию — операцию орбитального момента количества движения. В гл. 15 мы определили оператор J^zчерез R^z(j) — оператор поворота на угол j вокруг оси z. Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией y(r), которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз. Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены думать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть различие, обозначим орбитальный оператор L^zи определим его через оператор поворота на бесконечно малый угол e формулой
(напоминаем: это определение применимо только к состоянию |y>, у которого нет внутренних спиновых переменных, а есть только зависимость от координат r: х, у, z). Если мы взглянем на состояние |y> из новой системы координат, повернутой вокруг оси z на небольшой угол e, то увидим новое состояние:
Если мы решили описывать состояние |y> в координатном представлении, т. е. с помощью его волновой функции y (r), то следует ожидать такого равенства:
Что же такое? А вот что. Точка Р (х, у) в новой системе координат (на самом деле х', у', но мы убрали штрихи) раньше имела координаты x-ey и y+ex (фиг. 18.2).
Фиг. 18.2. Поворот осей вокруг оси z на малый угол e.
Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке Р, не меняется от поворота системы координат, то можно писать
(напоминаем, что e — малый угол). Это означает, что
Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому:
Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим операторам, можно написать
Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знакомую формулу классической механики: это z-компонента векторного произведения
L=rXp. (18.72)
Одна из забавных сторон манипуляций с операторами заключается в том, что многие классические уравнения переносятся в квантовомеханическую форму. А какие нет? Ведь должны же быть такие, которые не получаются, потому что если бы все повторялось, то в квантовой механике не было бы ничего отличного от классической, не было бы новой физики.
Вот вам уравнение, которое отличается. В классической физике
хрх-рxх=0.
А что в квантовой механике?
Подсчитаем это в x-представлении. Чтобы было видно, что мы делаем, приложим это к некоторой волновой функции y(x). Пишем
или
Вспомним теперь, что производные действуют на всё, что справа. Получаем
Ответ не нуль. Вся операция попросту равнозначна умножению на -h/i:
Если бы постоянная Планка была равна нулю, то квантовые и классические результаты стали бы одинаковыми и не пришлось бы нам учить никакой квантовой механики!
Отметим, что если два каких-то оператора А и В, взятые в сочетании
не дают нуля, то мы говорим, что «операторы не перестановочны», или «операторы не коммутируют». А уравнение наподобие (18.74) называется «перестановочным соотношением». Вы можете сами убедиться, что перестановочное соотношение для pхи у (или коммутатор рхи у) имеет вид
Существует еще одно очень важное перестановочное соотношение. Оно относится к моментам количества движения. Вид его таков:
Если вы хотите приобрести некоторый опыт работы с операторами x^ и p^, попробуйте доказать эту формулу сами.
Интересно заметить, что операторы, которые не коммутируют, можно встретить и в классической физике. Мы с этим уже сталкивались, когда говорили о поворотах в пространстве. Если вы повернете что-нибудь, например книжку, сперва на 90° вокруг оси х, а затем на 90° вокруг оси у, то получится совсем не то, что было бы, если бы сначала вы повернули ее на 90° вокруг оси у, а после на 90° вокруг оси х. Именно это свойство пространства и ответственно за уравнение (18.75).
§ 7. Изменение средних со временем
Теперь мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор А^, в который время явным образом не входит. Имеется в виду такой оператор, как х^ или р^.
[А исключаются, скажем, такие вещи, как оператор внешнего потенциала V(x, t), меняющийся во времени.] Теперь представим, что мы вычислили <A>ср в некотором состоянии |y>, т. е.
Как <A>ср будет зависеть от времени? Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну, во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например, если он был связан с переменным потенциалом типа V(x, t). Но даже если оператор от t не зависит, например оператор А^=х^, то соответствующее среднее может зависеть от времени. Ведь среднее положение частицы может перемещаться. Но как может такое движение получиться из (18.76), если А от времени не зависит? Дело в том, что во времени может меняться само состояние |y>. Для нестационарных состояний мы часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как |y(t)>. Теперь мы хотим показать, что скорость изменения <A>ср
дается новым оператором, который мы обозначим. Напомним, что это оператор, так что точка над А вовсе не означает дифференцирования по времени, а является просто способом записи
нового оператора, определяемого равенством
Задачей нашей будет найти оператор.
Прежде всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности,
Это всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения гамильтониана
Если мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно
Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по t. Поскольку каждое y зависит от t, мы имеем
Наконец, заменяя производные их выражениями (18.78) и (18.80), получаем
а это то же самое, что написать
Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что
Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора А.
Кстати заметим, что, если бы оператор А сам зависел от времени, мы бы получили
Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует х? Мы утверждаем, что это должно быть
Что это такое? Один способ установить, что это такое — перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором
. В этом представлении коммутатор равен
Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию y(х)и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите
Но это то же самое, что и
так что мы обнаруживаем, что
