А баллада и впрямь занятная, даже поучительная (впоследствии Фило опубликует ее в своем сборнике "Никому не известные песни и баллады XVII столетия"):
Жил-был игрок,
Он был далек
От всяческой науки.
Любой урок
Ему не впрок
Ему б монетку в руки!
Что в жертву рок
Его обрек,
Не мог он знать заране...
Один бросок,
Другой бросок
И выигрыш в кармане!
Приходит срок,
И наутек
Пускается удача.
Смотри, игрок,
Тебя порок
Прикончит, не иначе!
Седой висок,
Слепой зрачок,
Дрожит в руке монета...
Один бросок,
Другой бросок
И выигрыша нету!
После этого незачем, естественно, спрашивать, что происходит в караулке: и так ясно, что там играют в монетку. В ту самую, упомянутую Паскалем на улице Сен-Мишель, игру, которая у нас известна под названием орлянки, иначе "орла или решки". Теперь же ей скорее подходит название бурбонки, так как на монете, которой пользуются стражники, судя по всему, с одной стороны изображен Луи - Людовик XIV, а с другой - герб Бурбонов: лилия.
Но тут караульные, которым, видно, надоело подбрасывать монетку по одному разу, решают усложнить задачу.
- Давай вот что, - предлагает один. - Будем бросать по че-чи... ой!.. по четыре раза каждый, а выигрывает тот, у кого три раза из чечи... ой!.. из четырех выпадет Луи... Только, чур, не плуто-ва-а-а-ать! Идет?
- Нничего пподобного, - не соглашается другой, еще более пьяный. Ттак дело не ппойдет. Ддавай бросать по ввосьми раз, и у кого ввыпадет Луи ппп... пять раз, ттот и забирай все деньги...
- Да ты что? - протестует первый. - Бросать нам так до второго пришествия! Давай по чечи...
Тут они начинают галдеть в два голоса разом (слушай не слушай, все равно ничего не разберешь!), и Фило спрашивает у Мате, кто из караульных, по его мнению, прав. Но тот говорит, что правы оба. Ведь вероятности выпадения что из восьми по пяти, что из четырех по три раза почти одинаковы. Вот если бы игроки условились, что при восьми бросках должен выпасть только один Луи, а то и вовсе ни одного, тут уж вероятность и вправду сильно уменьшится.
- Давайте разберемся, - предлагает Асмодей. - Только будем уж называть не Луи и лилия, а орел и решка. Где ваш блокнот, мсье Мате? Надеюсь, света из двери нам будет достаточно.
- Прибегнем к буквенным обозначениям, - предлагает тот, пристраивая блокнот на острых атласных коленках. - Орел - О, решка - Р. Думаю, всем ясно, что при одном броске вероятности выпадения О и Р совершенно одинаковы, то есть равны половине. Таковы же вероятности выпадения О и Р при каждом последующем, отдельно взятом броске, независимо от результатов предыдущих.
- Разумеется, мсье, - поддакивает бес. - Недаром французский математик девятнадцатого века Жозеф Бертран когда-нибудь остроумно заметит, что монета не имеет ни совести, ни памяти. Ей наплевать... пардон, я хотел сказать, ей все равно, какой стороной она соизволила шлепнуться в предыдущие разы, и это обстоятельство имеет немаловажное значение в теории вероятностей.
- Если же, - продолжает Мате, - при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и PP. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2 ОР. Ибо ОР + РО = 2 ОР. Так ведь? С другой стороны, (О + Р)2 = О2+ 2ОР + P2, а это и есть OO + 2 ОР + PP.
- Само собой! - важно кивает Фило.
- Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:
OOO, ОРО, РОО, РРО, PPP, OOP, OPP, POP.
Преобразуем это хозяйство тем же способом: OOO, 3 OOP, 3 OPP, РРР. И снова (О + Р)3 = О3 + 3 O2Р + 3 ОР2 + Р3. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О + Р)4 = О4 + 4 O3Р + 6 О2Р2 + 4 ОР3 + Р4. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом О + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех - в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших равенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых - на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов представляет собой общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события есть отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша (р) в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.
- Все это очень хорошо, - мнется Фило, - но весь вопрос в том, как вычислить коэффициенты заранее? Тем более - их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, - что тогда?
- Хороший вопрос, - одобряет Асмодеи. - Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря - для любой степени бинома: О плюс Р в степени n.
- Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, - предлагает Мате. - Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.
(О+Р)0 = 1,
(О+Р)1 = О+Р,
(О+Р)2 = O2 + 2OР + P2,
(О + Р)3 = О3 + ЗО2Р + ЗОР2 + Р3,
(О + P)4 = О4 + 4O3Р + 6O2P2 + 4OР3 + Р4.
Остается выписать отдельно все коэффициенты:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
- Ой, - изумляется Фило, - ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.
- Умница! - одобрительно зыркает на него Мате. - Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.
Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.
- Вообще, как я погляжу, - продолжает он уже вслух, - в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек...
- ...которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, развивает его мысль Асмодей. - Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой, течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Лейбница.
- Бесспорно, - поддерживает его Мате. - Возьмем механику. Все, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.
- А математика, мсье? - перебивает Асмодей. - Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, разве не приведет это в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?
- Не забудьте про комбинаторику, - суетится Мате, - науку о всевозможных группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой усердно занимались и Ферма, и Паскаль, и Гюйгенс63, который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома, широко известном под названием бинома Ньютона.
Фило озабоченно хмурится.
- Бином Ньютона... Все это уж было когда-то, но только не помню, когда, - декламирует он себе под нос. - Кажется, в десятом классе...
- С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, ехидничает Мате. - Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. - Он снова хватается за свой неизбежный блокнот. - Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С...
- От французского "комбинезон" - "сочетание", - поясняет Асмодей.
- При этом справа от С ставятся два индекса, - продолжает Мате, пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний - число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два -. А в общем виде число сочетаний из n предметов по k - . Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р,- чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:
(О+Р)n =On + On-1P + On-2P2 + On-3P3 + ...+ Оn-kPk +...+ Рn.
- А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? - недоумевает Фило.
