Один из способов построения адаптивных эконометрических моделей – нейронные сети. При этом упор делается не на формулировку адаптивных алгоритмов анализа данных, а – в большинстве случаев – на построение виртуальной адаптивной структуры. Термин «виртуальная» означает, что «нейронная сеть» – это специализированная компьютерная программа. Термин «нейроны» используются лишь при общении человека с компьютером. Методология нейронных сетей идет от идей кибернетики 1940–х годов. В компьютере создается модель мозга человека (весьма примитивная с точки зрения физиолога). Основа модели – весьма простые базовые элементы, называемые нейронами. Они соединены между собой, так что нейронные сети можно сравнить с хорошо знакомыми менеджерам, экономистам и инженерам блок—схемами. Каждый нейрон находится в одном из заданного множества состояний. Он получает импульсы от соседей по сети, изменяет свое состояние и сам рассылает импульсы. В результате состояние множества нейтронов изменяется, что соответствует проведению эконометрических вычислений.
Нейроны обычно объединяются в слои (как правило, два—три). Среди них выделяются входной и выходной слои. Перед началом решения той или иной задачи производится настройка. Во—первых, устанавливаются связи между нейронами, соответствующие решаемой задаче. Во—вторых, проводится обучение, т. е. через нейронную сеть пропускаются обучающие выборки, для элементов которых требуемые результаты расчетов известны. Затем параметры сети модифицируются так, чтобы получить максимальное соответствие выходных значений заданным величинам.
С точки зрения точности расчетов (и оптимальности в том или ином эконометрическом смысле) нейронные сети не имеют преимуществ перед другими адаптивными эконометрическими системами. Однако они более просты для восприятия. Надо отметить, что в эконометрике используются и модели, промежуточные между нейронными сетями и «обычными» системами регрессионных уравнений (одновременных и с лагами). Они тоже используют блок—схемы, как, например, универсальный метод моделирования связей экономических факторов ЖОК.
Заметное место в математико—компьютерном обеспечении принятия решений в контроллинге занимают методы теории нечеткости (по—английски – fuzzy theory [ф а зи Сс и ори] , причем термин fuzzy переводят на русский язык по—разному: нечеткий, размытый, расплывчатый, туманный, пушистый и др.). Начало современной теории нечеткости положено работой Л.А.Заде 1965 г., хотя истоки прослеживаются со времен Древней Греции. Это направление прикладной математики получило бурное развитие. К настоящему времени по теории нечеткости опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов (больше половины – в Китае и Японии), постоянно проводятся международные конференции. В области теории нечеткости выполнено достаточно много как теоретических, так и прикладных научных работ, практические приложения дали ощутимый технико—экономический эффект.
В работах Лотфи А. Заде теория нечетких множеств рассматривается как аппарат анализа и моделирования гуманистических систем, т. е. систем, в которых участвует человек. Его подход опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее время методы теории нечеткости используются почти во всех прикладных областях, в том числе при управлении качеством продукции и технологическими процессами.
Нечеткая математика и логика – мощный элегантный инструмент современной науки, который на Западе и на Востоке (в Японии, Китае) можно встретить в программном обеспечении десятков видов изделий – от бытовых видеокамер до систем управления вооружениями. В России он был известен с начала 1970–х годов. Однако первая монография российского автора по теории нечеткости была опубликована лишь в 1980 г. В дальнейшем раз в год всесоюзные конференции собирали около 100 участников – по мировым меркам немного.
При изложении теории нечетких множеств обычно не подчеркивается связь с вероятностными моделями. В нашей стране в середине 1970–х годов установлено, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств. В США подобные работы появились лет на пять позже.
Итак, при решении задач управления, в частности, контроллинга полезны многочисленные интеллектуальные инструменты анализа данных, относящиеся к высоким статистическим технологиям и эконометрике.
3.3.2. Метод наименьших квадратов для линейной функции
Начнем с задачи точечного и доверительного оценивания линейной прогностической функции одной переменной.
Исходные данные – набор n пар чисел (t k , x k ), k = 1,2,…,n, где t k – независимая переменная (например, время), а x k – зависимая (например, индекс инфляции, курс доллара США, объем месячного производства или размер дневной выручки торговой точки). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
x k = a (t k – t ср )+ b + e k , k = 1,2,…,n,
где a и b – параметры, неизвестные исследователю и подлежащие оцениванию, а e k – погрешности, искажающие зависимость. Среднее арифметическое моментов времени
t ср = (t 1 + t 2 +…+t n ) / n
введено в модель для облегчения дальнейших выкладок.
Обычно оценивают параметры a и b линейной зависимости методом наименьших квадратов. Затем восстановленную зависимость используют для точечного и интервального прогнозирования.
Как известно, метод наименьших квадратов был разработан великим немецким математиком К. Гауссом в 1794 г. Согласно этому методу для расчета наилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость x от t , следует рассмотреть функцию двух переменных
Оценки метода наименьших квадратов – это такие значения a* и b* , при которых функция f(a,b) достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b) по аргументам a и b, приравнять их 0, затем из полученных уравнений найти оценки:
Имеем:
Преобразуем правые части полученных соотношений. Вынесем за знак суммы общие множители 2 и (-1). Затем рассмотрим слагаемые. Раскроем скобки в первом выражении, получим, что каждое слагаемое разбивается на три. Во втором выражении также каждое слагаемое есть сумма трех. Значит, каждая из сумм разбивается на три суммы. Имеем:
Приравняем частные производные 0. Тогда в полученных уравнениях можно сократить множитель (-2). Поскольку
(1)
уравнения приобретают вид
Следовательно, оценки метода наименьших квадратов имеют вид
В силу соотношения (1) оценку а* можно записать в более симметричном виде:
Эту оценку нетрудно преобразовать и к виду
Следовательно, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать и интерполировать, имеет вид
x*(t) = a*(t – t ср )+ b*.
Обратим внимание на то, что использование t ср в последней формуле ничуть не ограничивает ее общность. Сравним с моделью вида
x k = c t k + d + e k , k = 1,2,…,n.
Ясно, что
Аналогичным образом связаны оценки параметров:
Для получения оценок параметров и прогностической формулы нет необходимости обращаться к какой—либо вероятностной модели. Однако для того, чтобы изучать погрешности оценок параметров и восстановленной функции, т. е. строить доверительные интервалы для a*, b* и x*(t), подобная модель необходима.
Непараметрическая вероятностная модель . Пусть значения независимой переменной
t детерминированы, а погрешности
e k ,
k = 1,2,…,n, – независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией δ2 неизвестной исследователю.
В дальнейшем неоднократно будем использовать Центральную Предельную Теорему (ЦПТ) теории вероятностей для величин e k , k = 1,2,…,n (с весами), поэтому для выполнения ее условий необходимо предположить, например, что погрешности e k , k = 1,2,…,n, финитны или имеют конечный третий абсолютный момент. Однако заострять внимание на этих внутриматематических «условиях регулярности» нет необходимости.
Асимптотические распределения оценок параметров. Из формулы (2) следует, что
