О месопотамской математике нам известно из источников, относящихся к двум категориям: перечней чисел, классифицированных по разным признакам (списки по возрастанию и убыванию, таблицы умножения и деления), и задач. Как это ни странно, большинство этих задач предназначено для подготовленных учащихся (или, возможно, подобные задачи были разновидностью интеллектуального досуга) и, к удивлению тех, кто ожидал столкнуться с «примитивным» и «архаическим» обществом, не касается вопросов, связанных с архитектурой, измерением земли, орошением и другими проблемами, имеющими практическое значение. Приведем несколько примеров.
Задача № 1
Я нашел камень, но не взвесил его. Затем я добавил одну седьмую и одну одиннадцатую. Я взвесил – одна мана. Каким был изначальный вес камня?
Вес камня составлял одну ману, восемь шекелей и 221/2 «линии».
Задача № 2
Если кто-то спросит у тебя следующее: я выкопал столько же, сколько составляет сторона квадрата, который я сделал, и я вычел один мусару (603) и половину размера земли. Свое основание (поверхность земли) я сделал квадратом. Как глубоко я копал?
Ты в своих действиях оперируешь числом 12. Возьми обратную дробь от 12 и умножь на 1,30,0,0, что есть твой размер. Ты получишь 7,30,0. Каков кубический корень от 7,30,0? Тридцать – это кубический корень. Умножь 30 на один, и ты получишь 30. Умножь 20 на один еще раз, и ты получишь 30. Умножь 30 на 12, и 6,0 (360) ты получишь. Тридцать – это сторона твоего квадрата, и 6,0 (360) – твоя глубина.
Вводное предложение к первой задаче свидетельствует о том, что она полностью гипотетическая. В тексте приведено решение, но способ, с помощью которого оно было получено, учитель, очевидно, объяснял устно. Во второй задаче решение, наоборот, приведено полностью. По приведенным выше текстам видно, что вавилонские математики были прекрасно знакомы с кубическими корнями, а ведь табличка, на которой они записаны, датируется XVII или XVIII в. до н. э. Ассирийцы также, несомненно, умели извлекать квадратные корни и были способны вычислить квадратный корень из двух с минимальной погрешностью (1,414213 вместо 1,414214).
В приведенных выше расчетах также отразились две характерные черты месопотамской математики. Во-первых, они основаны на шестеричной системе счисления. Во-вторых, в то время как все системы счета, применявшиеся в древности (включая римскую), были непозиционными, жители Месопотамии оказались единственными, кто пользовался позиционной системой счисления, то есть значение каждой цифры в записи числа у них зависело от ее местонахождения. (К примеру, в числе 3333 одна и та же цифра обозначает 3000, 300, 30 и 3 соответственно.) И шестеричная, и позиционная системы счисления имеют ряд преимуществ, помогающих усовершенствовать вычисления, однако, к несчастью, в рамках шестеричной применялась и десятеричная система счисления, да и цифра 0 не была известна в Месопотамии вплоть до периода правления династии Селевкидов. Поэтому при решении месопотамских задач даже специалисты нередко сталкиваются с рядом трудностей, и можно предположить, что во многих случаях ученикам давались необходимые устные разъяснения.
Кроме того, необходимо обратить внимание на следующий факт: вавилонские математики, не использовавшие символы, применяли скорее алгебраические, чем арифметические методы. Судя по текстам некоторых из их задач, решить их можно было, только применив алгоритм, сходный с квадратным уравнением. В качестве примера приведем следующую задачу: «Я добавил 7 раз сторону моего квадрата и 11 раз его поверхность. В итоге получилось 6,15 (в шестизначной системе счисления). Запиши 7 и 11». Ее можно выразить в виде следующего квадратного уравнения: 11х2 + 7х = 6,15.
В ходе изучения некоторых табличек также можно сделать вывод о том, что вавилоняне были знакомы с функциями и при вычислениях использовали отношения рядов, экспоненциальную и логарифмическую зависимости. Они обладали абстрактным мышлением и любили цифры сами по себе, почти не задумываясь об их практическом применении. По этой причине вавилонская геометрия была гораздо меньше развита, чем алгебра. Математики были знакомы с некоторыми основными свойствами треугольника, прямоугольника и круга, но не сумели продемонстрировать их и измеряли полигональные поверхности с большими погрешностями. Геометрические фигуры, изображенные на табличках, являются лишь иллюстрациями к арифметическим проблемам. В отличие от греков вавилоняне увлекались не столько свойствами линий, поверхностей и объемов, сколько сложными подсчетами, обусловленными их взаимосвязями.
Прекрасной областью применения знаний математиков стала астрономия, благодаря чему эта наука в Месопотамии достигла настолько высокого уровня развития, что астрономы других древних государств остались далеко позади. Пристально изучать движение небесных тел жители Месопотамии стали по двум причинам: метафизической и хронологической. Первая из них была связана с верой в то, что события, происходившие на небе, повторяются и на земле, а также с мнением о том, что если планеты и созвездия тождественны богам, царям и государствам и можно проследить их взаимосвязи, то возможно предсказать будущее. Это в какой-то мере облегчало драматическую неуверенность, на которой зиждилась месопотамская философия. Таким образом, в основе астрономии лежала астрология, хотя принятая в Междуречье система никогда не была жесткой и оставляла возможность для божественного и человеческого вмешательства, а предопределенность, выраженная в форме гороскопов, появилась только в период правления Ахеменидов.
С другой стороны, жителям Месопотамии нужно было решить проблему, связанную с лунным календарем. В прошлом лунный цикл нередко считался вполне удобным инструментом счета времени. Год начинался в первое новолуние после весеннего равноденствия и делился на 12 месяцев, состоявших из 29 или 30 дней. Каждый день начинался на закате и был разделен на 12 «двойных часов» (беру), каждый из которых, в свою очередь, подразделялся на 60 «двойных минут». Мы до сих пор используем эту систему, за изобретение которой должны благодарить вавилонян. К сожалению, лунный год короче солнечного примерно на 11 дней, из-за чего через девять лет время сдвигалось на целый сезон. Кроме того, лунный год начинался в тот вечер, когда впервые на небе появлялась новая луна. Однако те, кто живет в Ираке, знают, что восточное небо не всегда такое безоблачное, как думают европейцы, и появление облаков, пыли или начало песчаных бурь может привести к невозможности осуществления этих наблюдений. По каким признакам в таком случае астрономы делали вывод о начале нового месяца и как им удавалось заранее определять точную дату и время этого события? Иными словами, какими были законы лунного (а также солнечного, так как движение луны связано с движением солнца) цикла?
Тот факт, что месопотамским астрономам удалось добиться потрясающих результатов, никоим образом не связан с качеством их инструментов. Они использовали только гномон (вертикальный предмет, позволяющий по наименьшей длине его тени определить угловую высоту солнца), клепсидру (водяные часы) и полос (инструмент, определяющий размер тени шара, подвешенного над полусферой). Своими достижениями астрономы обязаны постоянным тщательным наблюдениям и использованию математики для обработки полученных данных. Еще в глубокой древности были определены «пути» солнца и планет. Их разделили на 12 «пунктов», а те, в свою очередь, на 30 «ступеней» (прототип нашего зодиака). В нашем распоряжении имеется источник, относящийся ко времени правления I Вавилонской династии, в котором записаны результаты наблюдений за Венерой (Иштар), а также подробные каталоги звезд, датированные VIII–VII вв. до н. э. Вскоре астрономы Междуречья научились довольно точно предсказывать лунные, а затем и солнечные затмения.
На протяжении столетий проблема разницы между лунным и солнечным годом решалась довольно условно – царь приходил к выводу, что пришло время добавить к продолжительности года один или два дополнительных месяца. Но в VIII в. до н. э. астрономы заметили: 235 лунных месяцев составляют ровно 19 солнечных лет, и по их совету в 747 г. до н. э. царь Набунацир приказал добавлять по семь дополнительных месяцев через каждые 19 лунных лет. «Календарь Набонасара» был стандартизирован в промежутке между 388 и 367 гг. до н. э.
Была проведена масштабная работа по составлению лунных, солнечных и звездных астрономических таблиц. Таблицы ново– и полнолуний, а также затмений, составленные Набуриманну (Набурианом Страбона) в начале IV в. до н. э., отличаются чрезвычайной точностью, а Кидинну (Киден), величайший из всех вавилонских астрономов, работавший около 375 г. до н. э., определил точную продолжительность солнечного года, допустив ошибку всего на четыре минуты и 32,65 секунды. При исчислении орбиты движения солнца из узла орбиты он допустил ошибку меньшую, чем сделанная в 1887 г. астрономом Оппольцером.
