Вторая задача из "Сборника задач московских математических олимпиад" (М., 1967): "Сумма двух чисел 640. Если большее из этих чисел разделить на меньшее, то в частном получится 3, а в остатке 60. Найти эти числа".
Следует оговориться, что в 1967 г. пятиклассники, которым автор сборника Г. И. Зубелевич рекомендовала эту задачу, еще не пользовались приемом составления уравнений, и потому процесс решения в 1989 г. несколько отличается от того, как это должны были делать ребята 22 года назад, но существо дела остается практически тем же. Задача общедоступна и выглядит даже несколько наивно в сравнении с задачами такого же типа из сборника 1897 г. Судите сами.
No 283. "Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое дает в частном 2 и остатке 1, третье число при делении на второе дает в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа".
No 284. "Найти число, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при делении на 8 дает в остатке 5, знак при этом, что первое частное тремя больше второго".
И эти задачи не для участников московских математических олимпиад, а для рядовых гимназистов IV класса. Информация к размышлению.
В V экспериментальном ребята составляют уравнение, а составив, сразу же поднимают руки.
Вот подняты две первые руки.
- Обменяйтесь, пожалуйста, тетрадями и подержите их у себя, пока закончат работу другие.
Не прошло и минуты, как тетрадями обменялись десять пар учеников, а 21-й был вызван к доске и начал последовательный рассказ о процессе решения, сопровождая его краткими записями. Все остальные учащиеся делают такие же записи в тетрадях, ноне в своих, а в чужих. А почему, собственно, не позволить один раз в месяц сделать записи в чужих тетрадях? С одной стороны, вряд ли кто станет писать в чужой тетради вкривь и вкось, а с другой хозяевам тетрадей будет с чем сравнивать собственные записи, чтобы постараться в дальнейшем оформлять свои работы не хуже "соавтора". Возможно, в этом приеме можно найти и какие-нибудь теневые стороны, да только стоит ли это делать, если ребята с очевидным удовольствием включаются в эту игру? А у игры свои законы, с которыми спорить почти невозможно. И нужно ли?
Работа над второй задачей заканчивается сравнением результатов, которые назвали ребята до начала фронтального решения, с окончательным ответом. Случаи расхождения здесь, отметим попутно, чрезвычайно редки. Ученики относятся к этому виду работы с большой ответственностью и осторожностью: кому хочется вручить товарищу документальное свидетельство несостоятельности своего пути решения?
Для учителя, и это понятно, важны не только общие подходы к выполнению практических работ, но и методические "частности", связанные с постановкой вопросов, с переключением внимания одного ученика к другому, с рассмотрением различных вариантов, возникающих в ходе решения... Но все эти моменты носят индивидуальный характер, и в каждом отдельном случае учитель действует по-своему. Какие-либо универсальные советы здесь, по-видимому, нецелесообразны.
Вторая задача решена. Тетради возвращены их хозяевам. Условия первых двух задач стерты с доски, и она стала просторнее и чище. Это мощный, как уже было отмечено ранее, психологический фактор. Класс видит поступательное движение урока! Но энтузиазм тоже нужно подпитывать. С этой целью перед началом решения третьей задачи учитель, как бы между прочим, говорит:
- А теперь совершенно новая задача. Незамысловатее первой. В первой что там было особенного?.. В одной школе 840, во второй на 1/7, больше, в третьей 5/6 второй, а в четвертой 3/10 первых трех. Прямой ход решения. Нашли 1/7 от 840, прибавили, нашли 5/6 от 960, сложили все три и нашли 8/10 этого количества. Пустяк!
И все это спокойно, чуть насмешливо, на одном дыхании, без запинки!
"А и верно,- думают при этом те, кто не смог решить самостоятельно первую задачу.- Легкота. Как же это я оплошал?"
Краткий пересказ решения первой задачи преследует многие цели: повторить процесс решения для тех ребят, которые еще отстают от своих товарищей (нужны-то для этого считанные секунды!), сориентировать на быстрое мышление, мобилизовать внимание на основных действиях, но главное подготовить ребят к решению третьей задачи: "Плавательный бассейн наполняется двумя трубами за 48 мин, если открыть сразу две трубы. Через одну трубу бассейн может наполниться за 2 ч. Найти объем бассейна, если известно, что за 1 минуту через вторую трубу поступает на 50 куб. м больше, чем через первую" (Сборник задач московских математических олимпиад. М., 1967).
Третья задача - задача-разрядка. Здесь искушенный читатель может возразить: "Задача на совместную работу с переходом на разность и отношение величин не может выполнить эту функцию из-за своей сложности". И тем не менее это так. Все дело в том, что принцип решения таких задач надежно усваивается ребятами и они любят и умеют распутывать самые замысловатые условия. Появление таких задач на уроке вызывает радостное оживление, ибо их готов решать любой ученик. Вот почему это разрядка. В абсолютном большинстве случаев решение задач на совместную, работу не записывается в тетради, а только проговаривается устно. Как это будет происходить (решает ли у доски один ученик или сразу несколько, работает ли одновременно весь класс или ведется диалог между двумя учениками), зависит от уровня подготовки ребят, новизны и сложности условия задачи, громоздкости расчетов и прочих условий.
Венчает урок конечно же четвертая задача (М. И. Сканави, No 13 048):
"Длина Дуная относится к длине Днепра, как 63/1 : 5, а длина Дона относится к длине Дуная, как 61/2 : 91/2. Найти протяженность каждой из трех рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км".
Учителя математики хорошо знают, что таких задач нет ни в одном из учебников IV-VI классов, хотя еще совсем недавно они занимали значительное место во всех без исключения сборниках. Любопытен и такой факт. В Таганроге, в школе, где учился А. П. Чехов, хранится его ученическая тетрадь с записью решения подобной задачи. Стало быть, работа над материалом такой сложности нисколько не помешала Антону Павловичу стать великим русским писателем и, как знать, возможно, даже помогла ему развить логику мышления, внимание к деталям, трудолюбие и несгибаемую целеустремленность. Опровергнуть эту версию сможет только появление нового Чехова из числа тех, кому не довелось решать задачи приведенного типа, равно как и другие сложные задачи, все решительнее изымаемые из школьных учебников. Во всяком случае, снижение уровня сложности задачного материала в курсе математики средней школы никак не способствует развитию не только логического, но и всякого иного мышления школьников. И это при том, что решение комбинированных задач, образцом которых может служить задача No 13 048, вполне доступно всем, без какого-либо исключения, учащимся пятых классов, правда к концу учебного года. В первой четверти для решения аналогичной задачи к доске вызывается один ученик (обычно - по желанию), и ему предоставляется безраздельное право во всех подробностях выполнить операции решения и записать их вплоть до получения окончательного ответа.
Некоторые советы.
При решении нацеленных на большую перспективу задач в классе никто ничего не пишет.
Решение закончено, все записи с доски стерты, и класс приступает к воспроизведению решения в тетрадях, пользуясь только кратким условием задачи, последним из четырех сохранившихся на доске.
Проверка правильности решения каждым отдельным учеником осуществляется методом цепочки.
Заключительная часть урока посвящается краткой консультации, поясняющей решения задач No 223 и 247 (Алгебра-6, 1987). В первой из них ребята впервые встречаются с геометрическим термином "смежные углы", а во второй допущена опечатка: вместо "-2" стоит цифра 2.
На описываемом уроке эти задачи были резервными, и на них просто не хватило времени, так как этап решения первой задачи оказался более продолжительным, чем предполагалось. Включение их в план урока определялось простым соображением: решать их предстояло устно, а для этого нужно было не более 5 минут.
Обязательное условие: резервные задачи, не решенные на уроке, включаются в план очередного урока первыми.
Попутное замечание. При работе в новых методических условиях в поурочные планы никогда не вписывается устный счет. И вовсе не потому, что ему не придается должного значения, а потому, что он пронизывает весь урок от первой до последней минуты. Практически все математические выкладки ребята выполняют только устно и оперируют полученными результатами, лишь изредка помечая на доске промежуточные числовые переходы. Цепкость памяти и внимательное отношение ко всем расчетным операциям составляют основу математической культуры учеников, и это первое, что поражает учителей, присутствующих на уроках в экспериментальных классах. Правда, опять-таки большая часть из них видит только конечный результат и не имеет ни малейшего представления о черновой работе, приводящей к нему. Думается, только этим и можно объяснить недоумение, возникшее у некоторых после серии уроков в экспериментальных классах, показанных по Центральному телевидению в 1988 г. Семь последовательно выполняемых учениками математических операций без единой записи на доске вызвали у зрителей учителей смятение, и один из них даже выступил в печати с заявлением, что такой устный счет является математическим перегибом в развитии детей. Вопиющие "недогибы" и элементарная математическая безграмотность миллионов детей почему-то таких критиков не возмущают, а вот невероятные по своей сложности устные расчеты, выполнявшиеся самыми слабыми учениками, вызвали вот такую странную реакцию. Нет, неумение считать не компенсировать никакими компьютерами и сверхсложными машинами. Ведь в этом случае человек превращается в придаток электронного устройства, в простого нажимателя кнопок.
