- Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если к этому числу прибавить 36, то получится новое число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
- У треугольника координаты вершин (-3; 1), (-1; 4) и (2; 3). Построить симметричный ему треугольник относительно оси, проходящей через точки с координатами (-8; -2) и (-7; -2).
- Я задумал число, увеличил его в полтора раза, к произведению прибавил 4,4, полученную сумму разделил на 3-, из полученного частного вычел 1,4 и получил 0,6. Найти задуманное число.
- Ученик может выполнить работу за 16 ч, мастер - за 12 ч. Сначала в течение 4 ч работал ученик, затем 2 ч работал мастер. За сколько часов они выполнят оставшуюся работу, работая вместе?
(Специалистам-математикам нетрудно заметить, что в этих двух вариантах учащимся предложены задачи с цифровой вариацией из сборника М. И. Сканави No 13 005 и 13 030.)
III вариант.
- В треугольнике один из углов на 20° больше второго, а третий на 44° меньше второго. Найти углы треугольника.
- Сумма двух чисел 70. Если большее из этих чисел разделить на меньшее, то в частном получится 5, а в остатке 4. Найти эти числа.
- Все билеты на футбольный матч проданы за 4 дня. В первый день было продано 20% всех билетов, во второй день 150% того, что в первый день, в третий день - 80% того количества билетов, которые были проданы в первые два дня вместе. А в четвертый день были проданы последние 2000 билетов. Сколько всего мест на стадионе?
- На плане, выполненном в масштабе 1 : 1000, длина земельного участка 25 см, ширина 15 см. Найти площадь земельного участка.
- Со станций А и Б, расстояние между которыми 26,6 км, вышли навстречу друг другу два поезда. До точки встречи поезд из А прошел на 1,4 км больше, чем поезд из Б. Найти скорость каждого поезда, если поезд из А был в пути 15 мин, а поезд из Б вышел на 1 мин раньше, чем поезд из А.
IV вариант.
- Координаты вершин треугольника (-2; 4), (-1; -4) и (6; -2). Построить ему симметричный треугольник относительно центра симметрии, имеющего координаты (1; -3).
- Магазин в первый день продал 3/8 всех поступивших в него для продажи кубиков Рубика. Во второй день - 2/3 того, что в первый день, а в третий день на 20 кубиков больше, чем во второй день, после чего продажа была закончена. Сколько кубиков получил магазин?
- Один насос может выкачать воду из котлована за 16 ч, другой - за 75% этого времени. Первые 3 ч они выкачивали воду вместе, затем оставшуюся воду выкачал только первый насос. Сколько времени первый насос работал самостоятельно?
- Для 5 лошадей и 57 коров необходимо на день 630 кг сена, а для 10 лошадей и 17 коров - 290 кг сена. Сколько сена нужно одной лошади и сколько одной корове?
- Среднее арифметическое четырех последовательных нечетных чисел равно 2. Найти эти числа.
Содержание задач охватывает по крайней мере 10 разделов программы. Необычность контрольной и в объеме (5 задач), и в отсутствии примеров, и в абсолютной несхожести вариантов.
Еще одна особенность требует пояснений. Традиционные контрольные преследуют цель выяснить подготовку каждого ученика по отношению к должному уровню знаний и практических навыков. При этом не учитывается скорость выполнения заданий, тогда как отдельные учащиеся тратят на решение значительно меньше времени, чем основная масса детей. А ведь время решения тоже показатель, отражающий уровень подготовки. Если же в контрольную работу включить заведомо избыточное число задач, то каждый ученик за одно и то же время решит неодинаковое количество задач, что позволит совершенно точно определить различия в уровне подготовки школьников. Примеры же характеризуют только технические навыки счета и преобразования, что никак не соотносится с логикой решения задач. Именно поэтому навыки решения примеров проверяются в отдельной работе.
На финише года
Для приведенной выше контрольной лучшим учащимся экспериментального IV класса потребовалось всего только от 25 до 30 минут, в то время как в контрольных классах до истечения 45-й минуты урока не была сдана ни одна работа.
Итоговые результаты оказались следующими: учащиеся VIII контрольного класса набрали в общей сложности 55 баллов, учащиеся VI контрольного класса - 32 балла, учащиеся V контрольного класса - 7 баллов, учащиеся IV экспериментального класса - 157 баллов. Это значит, что каждый из учащихся экспериментального IV класса решил в среднем столько задач, сколько все учащиеся V контрольного класса, вместе взятые! Иными словами, 4 лучших ученика IV класса решили столько задач, сколько все ученики VI класса, или, иначе, б лучших учеников IV класса решили столько задач, сколько все ученики VIII класса. Это ли не убедительное подтверждение давно уже сделанного вывода, что новые формы работы, обеспечивая достижение успеха всех учащихся, создают режим наибольшего благоприятствования для самых одаренных.
Приведенные полностью четыре варианта контрольной позволяют каждому учителю математики в течение 45 минут сопоставить результаты, полученные в экспериментальном и в контрольных классах, с возможностями своих собственных учеников. Сделать это в высшей степени интересно еще и потому, что задания близки по своему содержанию к тем требованиям, которые предъявлялись к учащимся пятых классов общеобразовательных школ... 30 лет назад, когда сложность контрольных была несравнимо выше предлагающихся сегодня.
А теперь о классе, в котором была начата работа на новой методической основе осенью (23 сентября - это существенно!) 1985 г. Более 60% учащихся на протяжении всего учебного года в III классе не имели ни одной хорошей четвертной оценки по математике, 40% ребят аттестовались во всех учебных четвертях по всем учебным предметам только тройками. Из 800 учителей начальных классов, проходивших курсы повышения квалификации при Донецком ИУУ за последние годы, ни один не смог припомнить в своей педагогической практике таких низких результатов к окончанию начальной школы. А ведь 800 учителей - это 12 000 лет педагогического стало. Иными словами, за 12 000 лет ни один из учителей не имел подобного класса. Какой же вывод следует сделать из этого разительного примера? Один: работу на повой методической основе можно начинать в любом классе, ибо более тяжелого по уровню подготовки, чем четвертый экспериментальный 1985г., встретить едва ли возможно.
Потерянное время
Откройте наугад любую тетрадь ученика любого класса. Под заголовком "Классная работа" вы обнаружите, как правило, максимум две задачи и один пример. Под заголовком "Домашняя работа" чаще всего будет одна задача и один пример. Конечно, в старших классах сплошь и рядом встречаются такие задачи, для решения каждой из которых иной раз и урока мало: чертежи, расчеты, письменные объяснения к решению,- 45 минут пролетают как одно мгновение. Но в начальных-то классах вполне возможно решать за один урок до 10 задач! Почему же не получается? В объяснительной записке к программам по математике есть одно вполне резонное требование: "...привить учащимся некоторые навыки в краткой записки условий задач".
Почему-то оно воспринято учителями как обязательное, И везде ребята пишут краткие условия ко всем без исключения задачам - когда нужно, и когда ненужно. Причем делают это по совершенно одинаковым шаблонам и стандартным схемам, вне зависимости от того, как видит задачу каждый отдельный ученик. В результате возникают парадоксы: ученик отлично представляет все этапы решения прочитанной им задачи, от первого до последнего действия, и может произвести устно все расчеты - вплоть до окончательного ответа, но его принуждают выполнять рутинную работу по письменному оформлению краткого условия задачи. В школе это делают учителя, дома - родители. Времени на это уходит уйма. И что же получаем в итоге? Слабое владение вычислительными навыками, сдерживающее развитие логического мышления. А самое печальное утрачивается живой интерес детей к поисковой деятельности, самообразованию, снижается познавательная активность.
Начало урока
На всем поле доски - краткие записи, разделенные небольшими промежутками и объединенные самыми разнообразными границами разделов и рамками. Свободное место оставлено только под первой задачей. Краткие записи - это условия задач, которые будут решаться на уроке. Все записи аккуратно и тщательно сделаны на перемене учителем. На чистой части доски выполняются расчеты при решении первой задачи, после чего и решение и само условие задачи будут стерты. На освободившемся пространстве начнется решение следующей задачи, по завершении которого запись снова стирают, и т. д. Доска становится все чище и чище.
Психологическая значимость этого приема весьма существенна: дети уже на первых минутах урока видят объем предстоящей работы, а затем - динамику движения коллективной мысли, наконец, приближающийся с последней задачей конец урока как венец дела. Появляются деловой азарт, заинтересованность в достижении цели, даже энтузиазм: класс увлекается новой перспективой точно так же, как и сам учитель. Общность цели рождает единомыслие и сотрудничество. Ранее скрытые от ребят замысел и план урока становятся зримыми, отраженными в конкретных задачах, которые во что бы то ни стало надо решить. Теперь уже и для самого нерадивого ученика время урока не тянется, а летит: успеем или не успеем? И о какой пассивности может идти речь, если учитель вдруг остановится, посмотрит с сожалением на часы и озабоченно скажет:
