,
, n = 1, 2, …,
, t >0.
Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у’’ + у = f (t), y (0) = y’ (0) = 0
и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],
то L [y’’] = p2Y (p)
и p2Y (p) + Y (p) = F (p),
откуда
Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.
Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления, в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится «изображение» оригинала f (t) — функция pF (p).
Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p0 = s0 + it0. Если интеграл (1) сходится в точке р0, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р—р0) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число sс, что при Re p > sc интеграл (1) сходится, а при Re р < sс расходится. Число sс называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) — аналитическая функция в полуплоскости Re р > sс.
Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. — Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.
Лапласа теорема
Лапла'са теоре'ма, простейшая из предельных теорем теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта теорема доказана П. Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Один частный случай Л. т. был известен А. Муавру (1730), в связи с чем Л. т. иногда называется теоремой Муавра — Лапласа. Формулировка Л. т. такова. Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события Е равна р (0<р<1) и пусть m обозначает число испытаний, в которых событие Е фактически наступает; тогда вероятность неравенства
при достаточно большом числе испытаний n сколь угодно мало отличается от
.
Если обозначить через Xk случайную величину, принимающую значение, равное 1, при появлении события Е в k-ом испытании и значение, равное 0, при его непоявлении, то m представляется как сумма независимых случайных величин m = X1 + ...+ Xn. Это позволяет рассматривать Л. т. как частный случай более общих предельных теорем теории вероятностей, в частности Ляпунова теоремы.
Приближённые значения вероятностей, даваемые Л. т., на практике используются как точные при npq порядка нескольких десятков и большем.
Лит. см. при ст. Предельные теоремы теории вероятностей.
Ю. В. Прохоров.
Лапласа уравнение
Лапла'са уравне'ние, дифференциальное уравнение с частными производными
где х, у, z — независимые переменные, а u = u(x, y, z) — искомая функция. Это уравнение названо по имени П. Лапласа, рассмотревшего его в работах по теории тяготения (1782). К Л. у. приводит ряд задач физики и техники. Л. у. удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатического поля в точках пространства, свободных от зарядов, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и т. п. Функции, удовлетворяющие Л. у., называются гармоническими функциями. О постановке задач для Л. у. см. в ст. Краевые задачи.
Лапласов пункт
Лапла'сов пункт, точка земной поверхности, обычно пункт триангуляции или полигонометри и, в котором широта, долгота и азимут определены как из астрономических наблюдений, так и по геодезическим измерениям, отнесённым к известной системе координат, связанной с земным эллипсоидом с заданными размерами и положением в теле Земли. Между геодезическим и астрономическим азимутом и долготой существует зависимость, называется уравнением Лапласа (см. Лапласа азимут). Сопоставление астрономической широты, долготы и азимута с соответственными геодезическими величинами позволяет вывести в каждом Л. п. отклонения отвеса, которые характеризуют отклонение принятого земного эллипсоида от действительной фигуры Земли или несовпадение геодезической системы координат с системой астрономических координат, связанной с Землёй. В государственной геодезической сети СССР Л. п. принято определять через 150—200 км.
Ла-Плата (город в Аргентине)
Ла-Пла'та (La Plata) — город на В. Аргентины, на южном берегу залива Ла-Плата, административный центр провинции Буэнос-Айрес. 408,3 тыс. жителей (1970). Ж.-д. узел и важный морской порт по вывозу с.-х. продукции Пампы (зерно, мясо, шерсть, кожсырьё). Один из ведущих центров нефтеперерабатывающей и нефтехимической, а также мясохладобойной промышленности. Университет. Естественноисторический музей «Ла-Плата». Л.-П. основан в 1882.
Ла-Плата (залив)
Ла-Пла'та (исп. Río de la Plata, буквально — серебряная река), залив Атлантического океана у юго-восточного берега Южной Америки. Представляет собой эстуарий р. Парана. Длина 320 км, ширина до 220 км, глубина 10—20 м. Приливы неправильные, полусуточные, их величина до 1 м. На побережье Л.-П. — крупные города: Буэнос-Айрес (Аргентина) и Монтевидео (Уругвай).
Лаплатская низменность
Лапла'тская ни'зменность, название низменной восточной части равнин Парагвая — Параны (Центр, равнины) в Южной Америке (на востоке Гран-Чако и Пампы и в Междуречье). Простирается с С. на Ю. на 2400 км, с В. на З. на 900 км. Л. н. представляет собой синеклизу Южноамериканской платформы, заполненную мощной толщей континентальных, преимущественно кайнозойских, отложений. На С. тропический летневлажный климат, редколесья и обширные болота вдоль рек; на Ю. субтропический равномерновлажный климат, прерии и степи.
Лапоноидная раса
Лапоно'идная ра'са (от позднелат. Lapones — лапландцы и греч. éidos — вид, наружность), вариант уральской расы. Характеризуется низким ростом, очень низким лицом, выступающими скулами, вогнутой спинкой носа, небольшим процентом эпикантуса. Представители Л. р. — саамы.
Лаппаран Альбер Огюст
Лаппара'н (Lapparent) Альбер Огюст (30.12.1839, Бурж, департамент Шер, — 5.5.1908, Париж), французский геолог, член Парижской АН (1897). Окончил Высшую горную школу в Париже (1864). Основные труды по различным вопросам геологии. Автор учебных руководств по геологии, минералогии и горючим полезным ископаемым, выдержавших несколько изданий. Принимал участие в составлении детальной геологические карты Франции.
Соч.: Traité de géologie, 5 ed., [pt.] 1—3, P., 1906; La formation des combustibles minéraux, P., 1886.
Лаппенранта
Ла'ппенранта (фин. Lappeenranta), Вильманстранд (швед. Villmanstrand), город и порт в Финляндии, в ляни Кюми, на южном берегу оз. Сайма. 51 тыс. жителей (1970), включая поселок Лауритсала (судоверфи). Деревообрабатывающая, целлюлозно-бумажная, химическая (сернокислотная), цементная, пищевая промышленность.
Лаппи
Ла'ппи (Lappi), ляни (административная единица) на С. Финляндии. Площадь 93,9 тыс. км2. Население 196 тыс. человек (1971). Административный центр — г. Рованиеми. Преобладают холмистые равнины и возвышенности. Наиболее крупная возвышенность — Манселькя. Густая сеть рек. Много озёр, наибольшее — Инари. Ландшафты северной тайги. Редко населённый и экономически мало освоенный район страны. Лесное хозяйство; очаги молочного животноводства и земледелия. На р. Кеми-Йоки каскады ГЭС. Лесозаготовки, лесопиление, деревообрабатывающая, целлюлозно-бумажная промышленность.
