Вторым способом построения моделей является априорный способ, при котором структура модели не задана. При этом построение модели основано на подборе и подгонке по экспериментальным данным как вида модели из заданного класса моделей, так и ее параметров, которые наилучшим или приемлемым образом соответствуют результатам статистической обработки экспериментальных данных. При этом на модель не накладывается ограничений. Так, например, если известно, что случайный процесс x(t) – стационарный и эргодический с нормальной плотностью вероятностей и корреляционной функцией kx(τ) = σе–|τ|, то в этом случае мы можем поставить процессу x(t) в соответствие процесс y(t), являющийся выходом модели М, описываемой дифференциальным уравнением вида
где η(t) – случайный процесс типа белого шума, моделируемый с помощью генератора случайных чисел [21].
Апостериорный подход используется, например, для кибернетики или информационной модели физического объекта, когда объект рассматривается как система, осуществляющая преобразование входного воздействия {η(t)} в выходной y(t). При этом она считается полностью описанной, если имеется математическая модель, т. е. модель в абстрактной форме, не зависящей от физической природы входных и выходных переменных и процессов, происходящих в системе.
В отличие от вероятностных моделей в статистических (Фон Мизеса) модель строится на основе характеристик, получаемых предельным переходом от эмпирических характеристик при неограниченном увеличении объема экспериментальных данных. Адекватность использования таких моделей для описания физических объектов также проблематична, как и вероятностных, а в нестационарных условиях – не очевидна. Ответ на вопрос, какие модели и какие способы их получения использовать, в конкретном случае зависит от поставленной цели исследования, вида решаемой задачи, априорной неопределенности. Общим для этих методов является применение единых вероятностно-статистических методов, используемых в статистических измерениях, для характеристик и параметров реальных физических объектов. Основной вклад в технический риск происходит на этапе обработки материалов испытаний, т. е. при систематическом анализе, когда решаются следующие задачи:
1) выбор вида модели из заданного класса;
2) статистические описания характеристик модели или измерения ее параметров;
3) проверка статистических гипотез;
4) построение итоговой модели М, включая подгонку модели;
5) анализ свойств модели М;
6) статистическое моделирование на полученной модели М.
1.7. Упрощение математических моделей
Одна из причин отличия реальной математической модели М2, принятой в расчетах, от идеальной М1, которая описывает функционирование реального объекта без погрешностей, состоит в том, что идеальная модель для расчетов упрощается. Это упрощение происходит по различным причинам и, в частности, из-за невозможности применить М1 при расчетах на этапе НИР из-за ее сложности. Рассмотрим пример такого упрощения и допускаемые при этом погрешности.
Пусть создана математическая модель М1, которая представляет собой систему из n уравнений, заданная в пространстве RN с координатами x = (x1, x2, …, xN), вида
где 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ l, m ≤ N, 1 ≤ k ≤ α; x, t – соответственно пространственные и временные переменные.
Таким образом, (1.5) представляет собой систему интегро-дифференциальных уравнений для объекта с распределенными параметрами. Решения ψj = ψj(t,x;Ck) описывают состояние объекта или системы в некоторый момент времени t, поэтому их называют переменными состояниями. При этом предполагается, что уравнения Fi = 0 зависят от параметров Ck, например, числа Маха (М), числа Рейнольдса в авиации, структурных констант, которые могут влиять на свойства решений ψj, поэтому их называют управляющими параметрами.
Проблема исследования решений системы уравнений (1.5), даже если речь идет лишь о том, как зависят эти решения от управляющих параметров Сk, является исключительно сложной. По этой причине вводится ряд последовательных предположений, каждое из которых вносит соответствующие погрешности. К числу таких предположений относятся изменения в структуре модели М:
1. Погрешность δ11, обусловленная пренебрежением элементов объекта, описываемых интегралами. В результате модель (1.5) заменяется новой моделью вида
которая представляет собой систему нелинейных уравнений в частных производных.
2. Погрешность δ12, обусловленная новым упрощающим предположением, согласно которому модель не содержит пространственных производных любого порядка, т. е.
которая описывает объект с сосредоточенными параметрами.
3. Погрешность δ13, обусловленная переходом от модели (1.7) к модели вида
когда модель содержит производные не выше первого порядка и, кроме того, эти производные входят в упрощенную функцию Fi специальным каноническим образом. Систему уравнений Fi = 0 называют динамической системой.
4. Погрешность δ14, обусловленная предположением, что функция fi в (1.8) полностью не зависит от времени, тогда получаем модель
которая называется автономной динамической системой. Для таких систем, когда k ≤ 4, имеются некоторые интересные результаты в области свойств решений.
5. Погрешность δ15, обусловленная переходом от (1.9) к системе вида
когда все функции fi могут быть заданы антиградиентом по отношению к ψi некоторой потенциальной функцией V(ψj; Ck). Свойства таких систем изучены довольно глубоко.
6. Погрешность δ16, обусловленная переходом к модели, описывающей состояния равновесия dψi/dt = 0 градиентных динамических систем. В этом случае модель изучаемого процесса принимает вид
Эти уравнения могут не иметь решений, если V(ψ) = ψ; иметь одно решение при V(ψ) = ψ2; более, чем одно решение, если V(ψ,c) = ψ4 + cψ2: при c < 0 – имеется три решения, а при c > 0 – одно решение. При этом задача исследования заключается в том, каким образом состояние равновесия ψj(Ck) потенциальной функции V(ψj;Ck) изменяется при изменении управляющих параметров Ck.
Среди других методов исследования системы, основанных на переходе от (1.5) к более простым моделям, что обуславливает погрешности типа δ1j, рассмотренные выше, укажем:
1) метод линеаризации;
2) вариационные методы;
3) метод прогонки или метод начальных параметров.
Важным моментом в этих методах является приближенная замена дифференциальных уравнений (1.6) в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений, характеризующих динамические свойства системы с конечным числом степеней свободы.
1.7.1. Стохастические модели и их погрешности
Пусть рассматриваются абстрактные вероятностные или статистические модели физических объектов. Модель исследуемого объекта и модель полученных данных отличны. Эти отличия обусловлены тем, что экспериментальные данные отражают не только состояния изучаемого объекта, значения его характеристик и параметров, но и условия проведения, связанные с внешними возмущающими факторами δ1, а также упрощения и допущения, использованные при обработке эксперимента δ2. Если первые связаны с внешней средой, то вторые – со структурой объекта, с ее упрощением, которые проявляют себя в моделях, алгоритмах, построенных на основе экспериментальных данных.
Рассмотрим подробнее этот процесс, в основу которого положен морфологический анализ, широко используемый при исследовании и проектировании различных технических объектов [11]. Разберем задачу измерения характеристик случайных процессов, т. е. первый этап построения модели, например, в форме дифференциальных уравнений, позволяющих прогнозировать состояние изучаемого объекта, исследовать его устойчивость, прогнозировать численную величину показателей риска. Этапы таких работ включают следующие погрешности:
1. Получение исходных данных: принцип получения исходных данных (ансамблевый или траекторный) и оператор усреднения, а также количество обращения к исходным данным – погрешности δ21.
2. Схема сравнения с образцовой величиной: количество сравнений (одно или несколько) представляет собой этап, в котором производится сравнение измерительных преобразований; вычислительные преобразования – погрешности δ22.
3. Схема дискретизации траектории по времени: непрерывная; дискретная – погрешность δ23.
