Рис. 17. Башня в Пизе (Италия), откуда по преданию Галилей бросал шары.
Не надо ехать в Пизу и, рискуя быть арестованным, пытаться сбрасывать предметы со знаменитой «падающей» башни. Попробуйте сделать это у себя дома с балкона двадцатого этажа или выше. Внизу поставьте счетчиков с секундомером. И сбрасывайте шары – железный, свинцовый, деревянный и из пенопласта. Что, они достигнут земли одновременно? Не нужно никаких хронометров, чтобы убедиться, что пенопластовый шар, например, будет еще «порхать» в то время, когда один за другим упадут на землю свинцовый, железный и деревянный шары.
Если бы Галилей и производил эти опыты, то нетрудно догадаться, к каким бы выводам он пришел – как и Аристотель, он бы убедился, что тяжелые тела падают быстрее легких. Ведь о пустоте – вакууме, тогда не могли помышлять и самые смелые умы. Ученые смеялись над теми, кто заявлял о существовании пустоты – «места без помещенных туда тел». Впервые «увидел» пустоту (вернее, разреженные ртутные пары) Эванджелиста Торричелли (1608–1647) в 50-х годах XVII века, когда Галилея уже не было в живых.
В действительности же Галилей катал шары по наклонному желобу и по пульсу (более точного и надежного метода тогда не было) измерял время их пробега. Некорректность этих опытов в аспекте сопоставления их с падающими телами очевидна. Шары в желобе, помимо прямолинейного движения центра их масс, приобретали вращение, существенно замедляющее их скорость. Угловая же скорость шаров зависела от их диаметра, распределения масс в шаре, материала шара, его плотности, упругих свойств, и т. д и т. п. На скорость шаров влияло неизбежное проскальзывание, а также трение качения, зависящее от материала шаров и желоба. Даже сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости, в верхней части шара в четыре раза больше, чем в центральной, что тоже не способствует точности опытов.
Поэтому, видимо, не рассчитывая на достоверность своих опытов, Галилей так логически «доказал» одномоментность приземления легких и тяжелых тел: «Уважаемые сеньоры, представьте, что вы взошли на башню, имея две монеты в 5 и 3 скудо. Первая должна падать быстрее, вторая – медленнее. Если вы свяжете монеты бечевкой, вес возрастает, и они должны падать быстрее, но, с другой стороны, монета в 3 скудо, как более легкая, должна тормозить 5 скудо. Получаемое противоречие снимается одним утверждением – вес предмета не влияет на скорость свободного падения».
Если действительно произвести этот опыт, легко убедиться, что быстрее всего падает монета в 5 скудо, медленнее – связка из двух монет, так как монета в 3 скудо действительно будет тормозить монету в 5 скудо, а наиболее медленно – монета в 3 скудо. Но если попытаться поместить эти монеты в один невесомый корпус, например, легкий полый пластмассовый шарик, то быстрее всего падала бы тяжелая связка из двух монет, затем 5, а последней – 3 скудо. В любом случае опыт не вяжется с доказательством Галилея, построенным на формальной логике!
Только в вакууме, например в трубке Ньютона (рис. 18), тяжелые и легкие тела – дробинка и перышко – будучи отпущенными вместе, падают одновременно. Автор подчеркивает, что для этого падающие предметы должны быть отпущены именно одновременно. Если же их отпускать порознь, то этот «постулат» равного времени падения легкого и тяжелого тел не соблюдается, по крайней мере, теоретически. Но об этом подробнее в следующем вопросе.
Рис. 18. Трубка Ньютона.
4.7. Вопрос. Когда говорят о падении тел друг на друга, например груза на Землю, учитывается ли, что оба тела движутся навстречу друг другу?
Ответ. Эта задача принципиально близка той, где рассматривается вращение небесных тел вокруг общего центра масс. Свободные тела не могут двигаться независимо друг от друга, так как они связаны силами взаимного тяготения. Если расположить два тела на каком-нибудь расстоянии друг от друга и отпустить их, т. е. позволить им свободно перемещаться без начальной скорости, они начнут сближаться друг с другом, пока не произойдет их соприкосновение. Если одно из этих тел – небесное, то говорят о падении тел на Землю, Луну, комету, астероид и т. д. При этом чем более сопоставимы по массе тела – падающее и то, на которое оно падает – тем соизмеримее их перемещения навстречу друг другу.
Что же считать в подобных случаях «быстротой» падения? Разумнее всего критерием быстроты падения считать время, прошедшее от начала падения до соприкосновения тел.
Если мы, как это описано практически во всех учебниках, отпускаем одномоментно два тела – легкое и тяжелое, то они упадут одновременно (в вакууме, конечно), потому что они оба, находясь вместе, одновременно притягивают к себе Землю или другой объект, на который они падают. Происходит как бы сближение всего двух тел, двух масс. Два падающих тела, более и менее массивное, находясь вместе, просто не могут упасть порознь. И тело, на которое падают вместе два других тела, передвигается навстречу сразу этим двум телам.
Если же опыт провести иначе – отпустить одно тело, измерить время падения, а затем заменить это тело на более или менее массивное, проделать тот же опыт еще раз, то результат будет различный. Чем массивнее падающее тело при постоянной массе тела, на которое оно падает, тем быстрее тела соприкоснутся, иначе говоря, тем быстрее упадет тело.
Если отвлечься от большой разности в массах (это уже количественная сторона вопроса), подобным же образом обстоит дело с падением обычных по массам тел на Землю. Если эти тела бросать поодиночке над одним и тем же местом на Земле (например, на экваторе или на полюсе, над океаном или над залежами тяжелых руд и т. д.) и измерять время падения, не забывая убирать упавшее тело куда-нибудь в космическую даль, то, чем массивнее падающее тело, тем быстрее оно «приземлится» с одной и той же высоты, и наоборот. Желательно, конечно, чтобы падающие тела были помассивнее, тогда современными средствами измерения времени можно было бы уловить разницу. Ну, а если на Землю будут падать, к примеру, планета Венера и в сравнении с ней пудовая гиря, то разница во времени падения будет ощутима и без часов!
Определим время падения одного тела на другое. Обозначим массу одного тела, например, планеты – М, а массу падающего груза – т. Как известно из закона всемирного тяготения, силы, действующие на эти тела, равны:
где G – гравитационная постоянная, равная 6,67?10-11Н?м2/кг2;
R – расстояние между центрами масс тел.
Считая для простоты ускорения тел постоянными (допустим, падение происходит с небольшой высоты), вычисляем их: ускорение планеты aпл = F/M, ускорение груза агр = F/m. Скорости планеты и груза vпл = aплt и vгр = aгрt, где t – время.
Скорость сближения этих тел (скорость падения):
при этом средняя скорость падения:
где vпад. к – конечная скорость падения.
Считая оба тела массивными точками, определим время падения:
Подставляя vпад. к, получим:
В знаменателе под корнем сумма масс тел, следовательно, чем больше масса падающего груза т при постоянной М, тем меньше время падения.
Приведем гипотетический пример. Расчет показывает, что если Луна падает на Землю с высоты 1000 км, то до соприкосновения этих тел пройдет примерно 700 с (рис. 19). Если же при всех прежних условиях увеличить массу Луны до массы Земли, то падение, или, точнее, взаимное сближение, будет длиться всего 500 с.
Рис. 19. Схема падения Луны на Землю.
4.8. Вопрос. В учебниках можно встретить тезис, что при падении тел с высоты в сопротивляющейся среде, например, воздухе, в первой фазе падения тело движется с ускорением, а во второй – равномерно. Может ли так быть, ведь характер физического процесса во время падения не меняется?
Ответ. Это распространенная ошибка среди людей, обладающих определенным практическим опытом, например парашютистов, но в точной науке она неприемлема. В одном очень полезном учебнике для школ с углубленным изучением физики [26] , в разделе 3.16 «Установившееся движение тел в вязкой среде» написано, что при падении шарика в вязкой среде, например воздухе, где сила сопротивления движению тела (аэродинамическое сопротивление) пропорциональна квадрату скорости, уравнение движения имеет вид:
где F – равнодействующая силы тяжести и архимедовой силы;
v – скорость падения тела;
k – коэффициент пропорциональности (сопротивления).
Согласно утверждению авторов учебника, в самом начале движения ускорение падения шарика почти равно ускорению свободного падения, а в дальнейшем, когда скорость нарастает, «ускорение тела обращается в нуль и, начиная с этого момента, тело будет двигаться с постоянной установившейся скоростью». Сказанное выделено курсивом в конце раздела, видимо, как очень важное положение, которое следует получше запомнить. Причем приводятся конкретные данные, когда это ускорение обращается в нуль. Для падающей авиабомбы, например, это произойдет через 5–6 км падения.
