Согласно утверждению авторов учебника, в самом начале движения ускорение падения шарика почти равно ускорению свободного падения, а в дальнейшем, когда скорость нарастает, «ускорение тела обращается в нуль и, начиная с этого момента, тело будет двигаться с постоянной установившейся скоростью». Сказанное выделено курсивом в конце раздела, видимо, как очень важное положение, которое следует получше запомнить. Причем приводятся конкретные данные, когда это ускорение обращается в нуль. Для падающей авиабомбы, например, это произойдет через 5–6 км падения.
Проверим, так ли это на самом деле. Воспользуемся формулой (4.14), заимствованной из цитируемого учебника, и, чтобы быть поближе к практике, расшифруем значение коэффициента k для реальных тел, падающих в воздухе:
где Сx – коэффициент обтекаемости, хорошо известный автомобилистам;
? – плотность воздуха;
S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения.
На падающее тело действуют силы: Р – разность силы тяжести и архимедовой силы, и сопротивление среды R (рис. 20):
Рис. 20. Силы, действующие на тело, падающее в вязкой среде.
В проекции сил на ось падения тела х:
Составляем дифференциальное уравнение движения, используя формальную запись:
Обозначив:
и подставив в (4.18), получим:
или, после разделения переменных:
Интегрируем обе части уравнения:
При х = 0 v = 0, следовательно С1 = 0. Тогда:
Отсюда окончательно находим зависимость скорости v от пути х:
А теперь проверим, при каком значении пути падения х скорость падения достигнет предельного значения, когда ускорение падения равно нулю. С возрастанием х величина:
убывает, стремясь при х ? ? к нулю, а скорость v возрастает, стремясь к некоторой предельной величине с.
Из равенства (4.19) находим:
Однако, как мы видим, скорость эта достигается только при х – со, а стало быть, не достигается никогда. Поэтому все утверждения о моменте, начиная с которого ускорение падения тела становится равным нулю, необоснованны.
Другое дело, что скорость падения может приблизиться к предельной, а ускорение падения может стать очень малым, но равным нулю – никогда. В реальной жизни могут, конечно, встретиться случаи падения, когда тело даже начнет подниматься вверх, например, в восходящих потоках воздуха, чем успешно пользуются птицы и планеристы. Но если считать справедливыми принятые нами условия (4.14), то скорость падения тела в воздухе, как и в любой вязкой сопротивляющейся среде, где сопротивление пропорционально любой (конечной) степени скорости, продолжает расти.
4.9. Вопрос. Если толкнуть плавающее в воде тело, то как скоро оно остановится?
Ответ. С первого взгляда вопрос может показаться некорректным – кажется, что нужно знать массу тела, его обтекаемость, величину импульса толчка и т. д. Но, оказывается, это не так – теоретически тело не остановится никогда. Поясним это, казалось бы, парадоксальное утверждение.
Тело, плывущее в воде с небольшой скоростью v, испытывает сопротивление воды R, пропорциональное первой степени скорости:
где ? – коэффициент сопротивления, зависящий от целого ряда параметров, в данном случае не имеющих принципиального значения. Итак, после сообщенного толчка тело приобретает начальную скорость v0, и затем вдоль линии движения на тело действует только одна сила R, направленная противоположно скорости (рис. 21).
Рис. 21. Силы, действующие на плывущее в воде тело.
Вычисляя проекцию силы, находим:
Для определения времени движения составляем дифференциальное уравнение:
Замечая, что vx = v и ? Fk = – ?v, записываем:
Интегрируем это уравнение, беря от обеих его частей после разделения переменных соответствующие определенные интегралы. При этом нижним пределом каждого из интегралов будет значение переменной интегрирования в начальный момент, а верхним – в произвольный момент времени.
Учитывая, что при t = 0, v = v0, записываем:
Беря интегралы, получаем:
Откуда:
Определяя время движения до остановки, из равенства (4.32) найдем, что при v=0 (остановкатела) время t = ?. Это означает, что при принятом законе сопротивления движению (4.26) тело теоретически будет двигаться бесконечно долго, все время уменьшая свою скорость.
Однако из практики известно, что тело рано или поздно все равно остановится, причем не исключено, что оно может сдвинуться и назад. В чем же здесь дело? А в том, что, во-первых, при чрезвычайно малых скоростях движения закон сопротивления может измениться. Во-вторых, могут измениться свойства жидкости – она может остыть и замерзнуть, покрыться тиной и т. д. Тогда будет действовать какой-то новый закон сопротивления движению тела. Но он нам не задан, а согласно принятому закону сопротивления (4.26), тело будет двигаться уже описанным образом.
Интересно определить путь, который пройдет тело до остановки. Можно предположить, что если тело никогда не остановится, то и пройденный им путь за бесконечно большое время будет тоже бесконечно большим.
Проверим и это. Применим уже известную нам формальную подстановку (см. вопрос 4.8) и составим дифференциальное уравнение движения в виде:
Сокращая обе части его на v, разделяя переменные и учитывая, что при х = 0 v = v0, имеем:
Интегрируя, получаем:
откуда:
или при v = 0:
То есть получаем вполне конкретное значение пути. Например, при массе тела 100 кг, скорости v0 = 1 м/с и ? = 10 кг/с (средний коэффициент сопротивления для обычной лодки), получаем путь движения до остановки х = 10 м. Если проверять эту задачу экспериментально, то так примерно оно и получится. Хоть движение и «вечное», а вот пройденный путь вполне конечен.
Вот к каким неожиданным выводам приводит иногда механика!
4.10. Вопрос. Что такое трение качения?
Ответ. Казалось бы, такое обыденное явление – трение при качении, а ответа – что это такое, по крайней мере, поясняющего сущность вопроса, в школьных учебниках нет. Даже для школ с углубленным изучением физики. Про теорию относительности – есть, а про трение качения, встречающееся, буквально, на каждом шагу – нет. И, может быть, это к лучшему, потому что даже в вузовских учебниках по физике, где рассматривается этот вопрос, ясности все-таки нет. А ведь трение качения – очень важный для техники вопрос, оно обнаруживает себя в любом колесном транспорте, начиная от велосипеда и роликовых коньков и заканчивая многотонными тягачами и поездами, а кроме того, в механических передачах, подшипниках качения и во многих других случаях.
Между тем, объяснить хотя бы в первом приближении – что это такое, не так уж сложно. И одним из этих приближений будет то, что опорную поверхность или дорогу, по которой катится колесо, будем считать абсолютно твердой. Второе допущение, которое совершенно реально: опорная поверхность и поверхность колеса обладают трением скольжения, предельное значение которого превышает максимальное сопротивление качению колеса. Короче говоря, при приложении к оси колеса силы, оно будет катиться, а не скользить «юзом» по дороге. Иногда говорят, что рассматриваемые поверхности «шероховаты», но это недостаточно точно отражает суть вопроса. Трудно представить себе, например, что-нибудь более гладкое, чем зеркальная рабочая поверхность плиток Иогансона, применяющихся для точных измерений расстояний в качестве эталонов длины, но попробуйте сдвинуть одну такую плитку по другой!
А теперь поставим колесо на дорогу, приложим к нему силу тяжести G, нормальную силу со стороны дороги N и будем толкать колесо силой Р, приложенной горизонтально к оси, пытаясь его покатить. Мешает ли нам теоретически что-нибудь это сделать? Нет, все силы пересекаются в точке выхода оси колеса, и моменты, создающие сопротивление качению, не могут образоваться (рис. 22).
Рис. 22. Схема сил, действующих при качении абсолютно твердого колеса по абсолютно твердой дороге.
Получается парадокс – выходит, при качении нет никакого сопротивления? Но заметьте, что мы совершенно не учли деформацию колеса, оно у нас как бы «абсолютно твердое», тверже алмаза. Тогда, конечно, сопротивления качению быть не может, с учетом того, что дорогу мы уже приняли абсолютно твердой. Поэтому, чтобы уменьшить сопротивление трению качения, колёса и железную дорогу делают из очень твердых материалов (не из алмаза, конечно, но из термообработанной стали с наклепом – очень твердого материала). Железнодорожные колеса, катящиеся по рельсам, имеют сопротивление качению во много раз меньше, чем «мягкие» автомобильные колеса.
