Никакой силой, образующей с нормалью угол ?, меньший угла трения ?, нельзя сдвинуть тело по данной поверхности.
Рис. 15. Схема к определению угла трения.
А теперь перейдем к сути нашего вопроса. Лестница прислонена к стене под углом ? (рис. 16).
Рис. 16. Схема сил, действующих на приставную лестницу.
В предельном равновесном положении на лестницу действуют реакции RA и RB пола и стены, отклоненные за счет шероховатости поверхности от нормалей к этим плоскостям на угол трения ?. Материалы стены и пола в первом приближении считаем одинаковыми, чтобы иметь одинаковый угол трения ср. Линии действия реакций пересекаются в точке К. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р, равная весу человека, тоже должна пройти через эту точку К. Ведь известно, что если свободное тело (например, наша лестница, где действие пола и стены заменены силами RA и RB) находится в равновесии под действием трех непараллельных сил в одной плоскости, то силы эти пересекаются в одной точке (это известная в механике «Теорема о трех силах»). Действительно, если бы эти силы не пересекались в одной точке, то тело, попросту говоря, завертелось бы от образовавшегося момента.
Поэтому можно сказать, что человек выше точки D (см. рис. 16) подняться не может – лестница отъедет от стены, и человек упадет вместе с нею. Обиднее и больнее всего для падающего, когда эта точка D находится на самом верху лестницы.
Следовательно, человек может подняться до конца лестницы только тогда, когда она образует со стеной угол ? < ?. А уж этот угол можно определить из формулы (4.5), зная коэффициент трения опорной поверхности лестницы о пол. Здесь существует очень коварное заблуждение – если лестница сама не падает, то, якобы, не упадет она и с человеком. Это не так – ведь центр тяжести самой лестницы находится практически посреди нее, например в точке D. А ведь нам бывает надо взобраться и выше.
Автор предлагает пользоваться таким приемом: если можно достать вытянутой рукой до верхней ступеньки лестницы, то нужно потянуть за нее вниз – если лестница не падает, то на нее можно забираться. Если верхняя ступенька высоко, то к ней можно привязать веревку и тянуть за нее вниз.
4.4. Вопрос. Чем была сила в понимании древних людей?
Ответ. Древние люди различали два вида движения – естественное и насильственное. В нашем понимании естественное движение – это движение инерционное, без приложения внешних сил. Летит себе астероид в космическом пространстве с постоянной скоростью и по прямой – это и есть его естественное движение.
Но древние под естественным движением имели в виду нечто другое – возвращение предмета на его «естественное» место: если это камень, то вниз, если огонь, то наверх, на небо. И чтобы изменить это естественное движение, нужно было приложить силу – поднять камень вверх и т. д.
Из древних ученых наиболее серьезно занимался вопросами движения и сил Аристотель. Интересно, что древних греков совершенно не интересовало направление движения – им были важны только начальная и конечная точки движения.
Сила, названная Аристотелем «динамис», могла быть в современных обозначениях записана так:
где Р – вес движимого тела,
L – длина пути,
Т– время движения,
k – безразмерный коэффициент пропорциональности, видимо, имевший что-то общее с коэффициентом трения.
Поэтому размерностью аристотелевой силы по современным понятиям будет Н?м/с, т. е. Вт – единица мощности.
Даже из рассуждений Аристотеля можно было сделать вывод, что под силой он подразумевал мощность. Он считал, что одной и той же силой можно продвинуть половинный груз на вдвое большее расстояние, или на то же расстояние в половину времени. Видно, что сила отождествлена с работой и мощностью.
Сущность Аристотелевой силы подтверждается и терминологией. Греческое «динамис» переводится латинским «potentia», что соответствует французскому «puissance», или русскому «мощность». Античное воззрение на силу отразилось и на существующей до сих пор единице мощности – лошадиной силе. В действительности же лошадиная сила – это не сила, а работа эталонной лошади, отнесенная ко времени, в течение которого эта работа была совершена, то есть мощность. И возникла эта единица как количественная оценка паровой машины Уатта по мощности, а не по силе, которая в этом случае не имеет никакого смысла.
4.5. Вопрос. В законе всемирного тяготения массы считаются точечными. А в действительности они огромны по размерам, например наша Земля. Как будет действовать этот закон внутри нашей планеты?
Ответ. При ответе на этот вопрос мы столкнемся с рядом трудностей. Если тело находится на большой высоте над Землей, к тому же в безвоздушном пространстве, то силу притяжения этого тела к Земле можно определить по закону всемирного тяготения, а зная массу этого тела – ускорение по второму закону Ньютона. Подставив силу F притяжения двух тел – Земли и падающего тела – из закона всемирного тяготения:
в формулу второго закона Ньютона F = тTа и разрешив полученное выражение относительно ускорения, получим:
где G – гравитационная постоянная;
тЗ и тT – соответственно, массы Земли и тела;
R – расстояние между центрами масс тела и Земли.
Заметим, что ускорение а не зависит от массы самого тела.
При попадании в атмосферу Земли картина притяжения тела Землей меняется (здесь, конечно же, не идет речи об аэродинамическом сопротивлении атмосферы движению тела). С одной стороны, центр тяжести Земли становится ближе, и сила притяжения увеличивается. Вместе с тем, тело начинают притягивать массы воздуха, расположенные с другой стороны от центра масс Земли. Ускорение уже нельзя определить по формуле (4.8).
Далее, пусть тело достигнет уровня океана. Здесь перед нами встает новый вопрос: считаем ли мы, что рассматриваемое тело вращается вместе с Землей или оно неподвижно относительно «абсолютной» системы отсчета?
Если тело находится на полюсе, безразлично, на Северном или Южном, ускорение свободного паденияg = 9,83 м/с2. Вращение Земли тут роли не играет: полюс – это неподвижная точка относительно инерциальной системы отсчета, если не принимать в расчет вращения Земли вокруг центра масс Солнечной системы, прецессии земной оси и других факторов, мало влияющих на отклонения движения полюса от инерционного. Но Земля «сплюснута» у полюсов и «раздута» у экватора из-за своего суточного вращения. Поэтому на полюсе тело максимально приближено к центру Земли.
На экваторе же из-за отдаленности от центра, а еще более – из-за вращения Земли, которое теперь уже мы не можем игнорировать (невозможно представить себе тело, находящееся на Земле, а тем более заглубленное в нее, и не вращающееся вместе с ней!), ускорение свободного падения g = 9,78 м/с2.
Далее, величина ускорения свободного падения зависит от того, над чем находится тело: над глубоким океаном, где плотность воды невелика – около 1000 кг/м3, или над сушей, где плотность доходит до 2600 кг/м3и более (например, над залежами железной руды), или над пустотами, если даже они заполнены нефтью или газом. Ускорение свободного падения тем больше, чем плотнее материал под телом, и тем меньше, чем он менее плотен.
Положение усложняется, когда мы начинаем заглублять рассматриваемое тело в Землю. Если мы опускаем его на дно океана, то над телом оказывается легкая вода. Она хоть и притягивает тело в сторону от центра масс Земли, но этот центр, оказываясь все ближе, доминирует в притяжении. Если мы заглубляем тело в грунт, скальные породы или железнорудные залежи, то притяжение от центра все существеннее.
Следует иметь в виду, что плотность вещества в центре Земли очень высока – около 12000 кг/м3– это побольше, чем у свинца! Поэтому величина ускорения свободного падения g еще достаточно долго при заглублении в Землю увеличивается. Но потом она неизбежно начинает уменьшаться и в центре масс Земли ускорение свободного падения равно нулю. Тело одинаково притягивается внешними слоями Земли.
Интересно, что было бы, если бы Земля была полой и вся ее масса была сосредоточена в оболочке? Тогда, оказавшись в полости, все предметы «плавали» бы в ней, находясь в невесомости, как в космическом корабле!
4.6. Вопрос. Говорят, Галилей доказал, что тяжелые и легкие тела падают на Землю с одинаковой быстротой, основываясь на опытах бросания шаров с наклонной Пизанской башни. Возможно ли это на самом деле?
Ответ. Да, действительно, существует миф о том, что Галилей бросал шары с наклонной Пизанской башни (рис. 17), измеряя при этом время падения. И, будто бы, убедился в том, что легкие и тяжелые шары достигают Земли одновременно.
