(Культурологу здесь может быть необходимо, как нам думается, целое математическое п р и м е ч а н и е, для которого просто указываем соответствующую страницу названной книги М. Я. Выгодского (с. 532–533).)
Мы продолжаем историческое изложение К. А. Рыбникова. «Однако Эйлер выступил против такой трактовки общего решения, так как, по его мнению, функция, предложенная Д. Бернулли, являлась недостаточно общей. В самом деле, она непрерывная, нечетная, периодическая. Поэтому, по Эйлеру, она могла выражать лишь частное решение, в крайнем случае – класс частных решений. Возникший спор привел к задаче: выяснить объем класса функций, представи—мых тригонометрическими рядами.
В 1807 г. (опубликовано в 1822) Фурье в работах по аналитической теории тепла показал, что [.] все эйлеровские связанные кривые, начерченные свободным движением руки, оказались охваченными аналитическим аппаратом тригонометрических рядов» [Рыбников 1974: 207].
Мы продолжаем изложение К. А. Рыбникова (с. 209, 354). В 1822 г. Фурье опубликовал «аналитическую теорию тепла», оказавшую огромное влияние на развитие математики, в дальнейшем математические методы, ведущие свое начало от Фурье, в соединении с соображениями о законах сохранения энергии (С. Карно, 1824; Р. Майер; Г. Гельмгольц; Дж. Джоуль – 1840–е; Р. Клаузиус, 1850; У. Томсон—Кельвин, 1851) привели к формулировке второго начала термодинамики и установлению понятия энтропии.
Однако сейчас для развития нашей темы нам важны не столько общие принципы вроде начал термодинамики, энтропии и т. п., сколько более конкретные исследовательские понятия, в частности, понятие функции. Это понятие очень популярно у современных исследователей разных областей науки. Математик и культуролог А. Н. П а р ш и н исследовал «числа как функции» [Паршин 2002: 7 и сл. ] (культурологам, в частности, будет интересно «рисунчатое, движением руки, изображение» кривой и знака функции).
Необходимые К. А. Рыбникову для его «Истории математики» (с. 354) ссылки на Л. Больцмана и, самое главное, на развитие понятия функции (с. 200, 206 и сл.) оказываются параллельными (как «изотемы») ссылкам автора данной книги для его истории культуры (например, в работе «Язык и метод. К современной философии языка» [Степанов 1998: 332, 495]; в работе «Функции и глубинное» [Степанов 2002] и др.). По этой причине последнюю изотему мы подчеркнем отдельно – в следующем разделе.
9. Изотема 9
Функции и глубинное. Логико—математическое понятие функции & Пропозициональная функция в лингвистике &
Бинарная функция в математике и сложное слово в лингвистике
Логико—математическое понятие функции является в настоящее время, несомненно, центральным по положению в нашей системе рассуждения и содержательно важнейшим для нашей цели. Им вводится целый класс математико—лингвистических аналогий, параллелей и исследовательских ситуаций. Ниже нумеруем их – в порядке возникновения в нашем рассуждении – цифрами от 1 и далее; но эта нумерация все же связана до некоторой степени с иерархией понятий в системе.
Теперь рассмотрим более конкретно группу лингвистических явлений, составляющих параллели, аналоги, аналогии (все эти термины для нас равнозначны) к логико—математическим понятиям, покрываемым общим понятием «Функция» или находящимся в какой—либо существенной связи с ним. Для этого «слева» указываем то или иное необходимое частное понятие функции в математическом смысле или контексте, а «справа» его лингвистический аналог.
Таким образом, нижеследующий текст представляет собой своего рода двуязычный словарь, хотя в типографском отношении входной «левый» термин и «переводной» «правый» могут быть разъединены несколькими строками или даже абзацами.
Лейтмотивом в классе «Функция» является для нас (для лингвиста) идея процесса (вычисления или построения), но, как мы увидим уже в разделе 1, со стороны математики именно ее важность иногда отрицается.
1. Рекурсивные функции и предикаты: процесс и рекурсия. Дж. Литлвуд, рассматривая (резко критически) книгу А. Р. Форсайта «Теория функций комплексного переменного», изданную в 1893 г., но все еще читаемую, цитирует из нее: «Возникновение идеи функциональности вначале было связано с функциями вещественных переменных, и тогда эта идея была равнозначна идее зависимости. Так, если X зависит от значения x и не зависит ни от какой другой изменяющейся величины, то принято X рассматривать как функцию от х; при этом обычно еще
подразумевается, что X выводится из х при помощи ряда операций». Такое изложение, по мнению Литлвуда, навевает «общий кошмар». «В наше время, – продолжает он, – конечно, функция у = у(х) означает, что имеется класс «аргументов» х и что каждому х поставлено в соответствие 1 и только 1 «значение» у. После некоторых тривиальных разъяснений (а может быть, и без них?) мы можем осмелиться сказать, что функция есть просто класс С пар (х, у) (с учетом порядка в скобках), подчиненный (только) тому условию, что х в различных парах должны быть различными (и утверждение «между х и у есть зависимость R» означает просто задание класса, который может быть любым классом упорядоченных пар)» [Литлвуд 1978: 64, 67].
Если термины «изменяющаяся величина», «выводится», «ряд операций» и т. п. вызывают у Дж. Литлвуда «ощущение кошмара», то он упускает и связанную с ними более общую идею «процесса», хотя бы понятия вычислимости. А эта идея и является в настоящее время самой главной.
Изложенное определение в курсах математической логики описывает класс функций, называемых примитивно—рекурсивными функциями: «функция f (t,x), содержащая или не содержащая параметр t, называется примитивно—рекурсивной относительно функций a(t), b(t, x, y), если
(где никакая переменная, встречающаяся в правой части уравнения, не отсутствует в левой части, хотя некоторые переменные и могут отсутствовать в правой части)» [Гудстейн 1961: 73].
Р. Л. Гудстейн обращает внимание на черту аналогии с языком: «Предложение, содержащее свободные переменные, есть арифметический предикат» [Гудстейн 1961: 68].
Для лингвистики прежде всего важны две аналогии, связанные с основными единицами естественного языка: предложением (пропозицией) – пропозициональная функция и словом – слоеная функция.
2. Числовая функция в математике – Пропозициональная в лингвистике (иначе: высказывательная функция). Под последней понимается предложение как форма высказывания, выражающее некоторое суждение; в общей форме, как функция, предложение не завершено: оно содержит в своем составе незаполненные места, могущие быть заполненными словами или словосочетаниями данного языка; последние являются аналогами обозначений аргументов в числовой функции; при подстановке этих словесных переменных в высказывательную функцию она превращается в нормальное высказывание, истинное в том случае, если аргумент соответствует области определения аргументов для данной функции.
3. Числовая функция в математике – Словная функция в лингвистике. Словная функция представляет собой функцию достаточно специального вида (даже для математиков). В математическом смысле эта функция определяет со
бой имя в логико—математическом смысле термина. Мы назовем ее столь же специальным термином слоеная. В данной статье мы рассмотрим только один, еще более специальный ее случай, а именно такой, когда слово является именем существительным или именем прилагательным. Но одновременно это и наиболее типичный случай.
В основе этой функции, как для математики, так и для лингвистики, лежит одна и та же широко известная схема, называемая семантическим треугольником, или треугольником Фреге. (Она была известна уже схоластам XII века, и по справедливости ее нужно было бы называть именем Иоанна Солсберийского (он же Джон из Солсбери), но Фреге дал лучшее исследование ее на конец XIX в.; см. ниже II, 3.) Согласно этой схеме, имя состоит из (1) самого слова или знака слова в его внешней стороне – звучания или написания, (2) предмета обозначения, т. е. предмета, обозначаемого этим словом, – денотата, (3) смысла имени. В математической логике эти три сущности связаны отношениями функции, а именно так, что денотат является функцией смысла имени:
денотат имени N = f (смысл имени N) [Черч 1960: 27].
Несколько простых примеров. Для русского языка: смысл слова экскурсовод помогает нам найти его денотат, т. е. человека, являющегося экскурсоводом среди толпы людей, бродящих по музею; аналогично – автоматчика в толпе солдат; тяжеловоз – среди автомашин, заполняющих автостоянку, и т. п. Точно так же в языке математики имя число 9, имеющее своим смыслом «три в квадрате», позволяет нам найти денотат этого числа среди чисел 4, 9, 16, 25… и т. д.
