При проверке основной гипотезы Н0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:
где νR-r – величина ошибки разности (R2-r2), которая определяется по формуле:
При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о линейной зависимости между переменными отвергается. В этом случае построение нелинейной модели регрессии считается целесообразным.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл≤tкрит, то основная гипотеза о линейной зависимости между переменными принимается. Следовательно, взаимосвязь между данными переменными можно аппроксимировать простой линейной формой зависимости.
47. Тесты Бокса-Кокса и Зарембеки выбора модели регрессии
Если в начале эконометрического моделирования перед исследователем стоит выбор между моделью регрессии, внутренне нелинейной и линейной моделью регрессии (или сводящейся к линейному виду), то предпочтение отдаётся линейным формам моделей.
Однако многие модели регрессии различной функциональной формы нельзя сравнивать с помощью стандартных критериев (например, сравнение по множественному коэффициенту детерминации, или суммам квадратов отклонений), которые позволили бы подобрать наиболее подходящую модель регрессии.
Например, если перед исследователем стоит вопрос о выборе линейной или логарифмической моделями регрессии, то использовать при этом критерий суммы квадратов отклонений нельзя, потому что общая сумма квадратов отклонений для логарифмической модели намного меньше, чем для линейной модели регрессии. Это вызвано тем, что значение логарифма результативной переменной logy намного меньше, чем соответствующее значение у, поэтому сравнение сумм квадратов отклонений моделей даёт неадекватные результаты.
Если сравнивать данные модели по критерию коэффициента множественной детерминации, то мы вновь получим неадекватные результаты. Коэффициент множественной детерминации для линейной модели регрессии характеризует объяснённую регрессией долю дисперсии результативной переменной у. Индекс детерминации для логарифмической модели регрессии характеризует объяснённую регрессией долю дисперсии переменной logy. Если значения данных критериев примерно равны, то сделать выбор между моделями регрессии с их помощью также не представляется возможным.
Одним из методов проверки предположения о возможной линейной зависимости между исследуемыми переменными является метод проверки гипотезы о линейной зависимости между переменными с помощью коэффициента детерминации r2 и индекса детерминации R2.
Другим методом выбора функциональной зависимости между переменными является тест Бокса-Кокса.
Предположим, что перед исследователем стоит задача выбора между линейной и логарифмической моделями регрессии. Рассмотрим применение теста Бокса-Кокса на данном примере.
Тест Бокса-Кокса основывается на утверждении о том, что (у-1) и logy являются частными случаями функции вида
В том случае, если параметр λ равен единице, то данная функция принимает вид F=y-1.
В том случае, если параметр λ стремиться к нулю, то данная функция принимает вид F=logy.
Для того чтобы определить оптимальное значение параметра λ, необходимо провести несколько серий экспериментов с множеством значений данного параметра. С помощью такого перебора можно рассчитать такое значение параметра λ, которое даст минимальную величину критерия суммы квадратов отклонений. Подобный метод вычисления оптимального значения параметра называется поиском на решётке или на сетке значений.
П. Зарембеки разработал один из вариантов теста Бокса-Кокса специально для случая выбора между линейной и логарифмической моделями регрессии.
Суть данного теста заключается в том, что к результативной переменной у применяется процедура масштабирования. Подобное преобразование в дальнейшем позволит сравнивать величины сумм квадратов отклонений линейной и логарифмический моделей регрессий.
Тест Зарембеки реализуется в несколько шагов:
1) рассчитывается среднее геометрическое значений результативной переменной у по формуле:
2) все результативные переменные у масштабируются по формуле:
где ỹi – масштабированное значение результативной переменной у для i-го наблюдения;
3) оценивается линейная модель регрессии с использованием масштабированных значений ỹi результативной переменной вместо у, и логарифмическая модель регрессии с использованием ỹi вместо logy. Все факторные переменные и коэффициенты регрессии остаются при этом неизменными. После такого масштабирования результативных переменных значения сумм квадратов отклонений для данных моделей регрессии можно сравнивать между собой. Поэтому выбирается та модель регрессии, для которой данный критерий окажется наименьшим.
48. Коэффициенты эластичности
Коэффициенты эластичности наряду с индексами корреляции и детерминации для нелинейных форм связи применяются для характеристики зависимости между результативной переменной и факторными переменными. С помощью коэффициентов эластичности можно оценить степень зависимости между переменными х и у.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится величина результативной переменной у, если величина факторной переменной изменится на 1 %.
В общем случае коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
где
– первая производная результативной переменной у по факторной переменной x.
Коэффициенты эластичности могут быть рассчитаны как средние и точечные коэффициенты.
Средний коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего среднего уровня
если факторная переменная х изменится на 1 % относительного своего среднего уровня
Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для среднего значения
факторной переменной х:
где
– значение функции у при среднем значении факторной переменной х.
Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.
Для линейной функции вида:
yi=β0+β1xi,
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для полиномиальной функции второго порядка (параболической функции) вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для показательной функции вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Для степенной функции вида:
средний коэффициент эластичности определяется по формуле:
Это единственная нелинейная функция, для которой средний коэффициент эластичности
равен коэффициенту регрессии β1.
Точечные коэффициенты эластичности характеризуются тем, что эластичность функции зависит от заданного значения факторной переменной х1.
Точечный коэффициент эластичности характеризует, на сколько процентов изменится результативная переменная у относительно своего значения в точке х1, если факторная переменная изменится на 1 % относительно заданного уровня х1.
Общая формула для расчёта коэффициента эластичности для заданного значения х1факторной переменной х:
Для каждой из разновидностей нелинейных функций средние коэффициенты эластичности рассчитываются по индивидуальным формулам.
Для линейной функции вида:
yi=β0+β1xi,
точечный коэффициент эластичности определяется по формуле:
В знаменателе данного показателя стоит значение линейной функции в точке х1.
