A, a, β – неизвестные числовые параметры производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1;
2) 0≤β≤1;
3) A›0;
4) a+β=1.
Данная производственная функция характеризуется следующими показателями:
1) частный коэффициент эластичности производственной функции Кобба-Дугласа по факторной переменной капитала K рассчитывается по формуле:
Таким образом, ЭК(у)=а, т. е. частный коэффициент эластичности функции Кобба-Дугласа равен числовому параметру а, и, следовательно, является независимым от переменных К и L;
2) частный коэффициент эластичности производственной функции Кобба-Дугласа по факторной переменной затрат труда L рассчитывается по формуле:
Таким образом, ЭL(у)=β, т. е. частный коэффициент эластичности функции Кобба-Дугласа равен числовому параметру β, и, следовательно, является независимым от переменных К и L;
3) коэффициент средней производительности труда производственной функции Кобба-Дугласа:
4) коэффициент средней фондоотдачи производственной функции Кобба-Дугласа:
5) коэффициент предельной производительности труда производственной функции Кобба-Дугласа:
Данный показатель характеризует величину эффекта от каждой дополнительной единицы затраченного труда. Он пропорционален показателю средней производительности труда, но всегда меньше его величины, т. к. 0≤β≤1;
6) коэффициент предельной фондоотдачи производственной функции Кобба-Дугласа:
Данный показатель характеризует величину эффекта от каждой дополнительной единицы основных фондов, использованной в производстве. Он пропорционален показателю средней производительности, но всегда меньше его величины, т. к. 0≤а≤1;
7) коэффициент предельной нормы технической замены факторных переменных (замены труда капиталом) производственной функции Кобба-Дугласа:
Данный показатель характеризует, на сколько единиц можно уменьшить объём используемого капитала при увеличении объёма трудовых затрат на единицу и фиксированном объёме выпуска продукции.
52. Метод наименьших квадратов для двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа. Эффект от масштаба производства
Двухфакторную производственную функцию Кобба-Дугласа f(K,L) можно представить в виде:
Q=A*Ka*Lβ,
где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);
K – объём основного капитала или основных фондов;
L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).
A,a,β – неизвестные числовые параметры производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1;
2) 0≤β≤1;
3) A›0;
4) a+β=1.
Двухфакторная производственная функция Кобба-Дугласа относится к классу нелинейных по параметрам функций, которые можно свести к линейному виду.
Для того, чтобы привести двухфакторную производственную функцию Кобба-Дугласа к линейному виду, необходимо прологарифмировать обе части данной функции:
lnQj–lnLj=lna+β(lnKj–lnLj)+εj,,
где εj – случайная ошибка производственной функции
Для более наглядного представления данной модели регрессии воспользуемся методом замен:
yj= lnQj–lnLj;
b0=lna;
b1=β;
b=[ b0 b1]T;
xj= lnKj–lnLj;
δT(xj)=[0 xj].
В результате произведённых замен получим окончательный вид производственной функции Кобба-Дугласа, приведённой к линейной форме:
В данной функции неизвестным является только вектор коэффициентов b. Оценку данного вектора можно получить с помощью классического метода наименьших квадратов по формулам:
где
– среднее арифметическое значение переменной х:
– среднее арифметическое значение переменной у:
– среднее значение квадрата переменной х:
– среднее значение произведения переменных х и у:
После того, как будут получены МНК-оценки неизвестных коэффициентов b0 и b1 линеаризованной двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа, на их основе можно будет рассчитать оценки неизвестных параметров A,a,β исходной функции Кобба-Дугласа.
Эффектом от масштаба производства для двухфакторной производственной функции называется изменение объёма произведённой продукции при пропорциональном изменении затрат труда и капитала.
Пусть объём основного капитала изменился на величину nK, а объём трудовых затрат увеличился на величину nL. Рассчитаем величину изменения объёма производства для функции двухфакторной производственной Кобба-Дугласа:
Q(n)=A*(nKa)*(nLβ)= A*Ka*Lβ*na+β=Q*na+β.
Если справедливо неравенство (a+β)›1, то функция Кобба-Дугласа имеет возрастающий эффект от масштабов производства, т. е. с увеличением факторных переменных K и L в n раз, объём производства Q возрастает в na+β раз.
Если справедливо равенство (a+β)=1, то функция Кобба-Дугласа имеет фиксированный эффект от масштабов производства, т. е. с увеличением факторных переменных K и L в n раз, объём производства Q также возрастает в n раз.
Если справедливо неравенство (a+β)‹1, то функция Кобба-Дугласа имеет убывающий эффект от масштабов производства, т. е. с увеличением факторных переменных K и L в n раз, объём производства Q возрастает меньшими чем n темпами.
53. Двухфакторная производственная функция Солоу
Помимо двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа, одной из наиболее часто используемых двухфакторных функций является производственная функция, предложенная американским учёным Солоу в 1956 г.
Общий вид двухфакторной производственной функции Солоу:
где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);
K – объём основного капитала или основных фондов;
L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).
A,β,a – неизвестные числовые параметры или технологические характеристики производственной функции, которые подчиняются условиям:
1) 0≤а≤1
2) A›0;
3) β›0.
По сравнению с двухфакторной производственной функцией Кобба-Дугласа производственная функция Солоу имеет много преимуществ.
Для функции Солоу является справедливым правило эффекта от масштаба производства, т. е. она является однородной относительно переменных.
Докажем данное утверждение. Пусть объём основного капитала изменился на величину nK, а объём трудовых затрат увеличился на величину nL. Рассчитаем величину изменения объёма производства для функции двухфакторной производственной Солоу:
Данное равенство означает, что с ростом факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также возрастает в n раз (если справедливо неравенство n›1). С уменьшением факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также снижается в n раз (если справедливо неравенство 0‹n‹1).
Если одна из факторных переменных производственной функции Солоу равна нулю, например, K=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависеть от изменения объёма второй факторной переменной, т. е. затрат труда L. И, наоборот, если L=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависит от изменения затрат основного капитала К.
Если одну из факторных переменных, например, затраты основного капитала K зафиксировать на уровне K0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной затрат труда L. Если же зафиксировать факторную переменную затрат труда L на уровне L0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной К.
