Докажем данное утверждение. Рассчитаем показатель предельной производительности факторной переменной затрат труда L:
Следовательно, предельная производительность факторной переменной L всегда больше нуля.
Аналогично доказывается, что предельная производительность второй факторной переменной объёма основных фондов К также больше нуля, что говорит о росте объёма произведённой продукции Q с ростом факторной переменной К и при фиксированном значении факторной переменной L.
Изоквантой для двухфакторной производственной функции Солоу называется кривая, которая характеризуется равенством β(K,L)=const.
Для производственной функции Солоу можно рассчитать показатели эластичности:
1) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной К рассчитывается по формуле:
2) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной L рассчитывается по формуле:
54. Многофакторные производственные функции
Многофакторной производственной функцией называется функция, которая характеризует зависимость объёма производства от n-го количества факторов производства.
y=f(xi),
где
Многофакторные производственные функции полезны тем, что на их основе можно рассчитать целый ряд важнейших экономических показателей.
К основным показателям многофакторных производственных функций относятся:
1) показатель средней производительности (эффективности, отдачи) i-го фактора при условии фиксированности всех остальных факторов:
2) показатель предельной производительности (эффективности, отдачи) i-го фактора, который характеризует приращение объёма производства на единицу приращения i-го фактора, рассчитывается как частная производная по факторной переменной xi:
3) для определения характера изменения предельной производительности с изменением объёма i-го фактора при постоянном значении всех остальных факторов, включённых в модель, рассчитывается частная производная второго порядка по факторной переменной xi:
Если показатель
больше нуля, то предельная производительность возрастает с ростом объёма i-ой факторной переменной.
Если показатель
равен нулю, то можно найти такое значение объёма i-ой факторной переменной, при котором предельная производительность будет или минимальной или максимальной.
4) показатель частной эластичности i-го ресурса для многофакторной производственной функции характеризует относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения i-ой факторной переменной:
5) потребность производства в i-том факторе выражается через функциональную зависимость вида:
xi=φ(y,x1…xi-1,xi+1…xn).
6) для любой пары факторов производства i и j можно рассчитать предельную норму замещения j-ой факторной переменной i-той факторной переменной. Эта норма равна взятому со знаком минус отношению показателей предельной производительности i-ой и j-ой факторных переменных:
При выборе конкретного вида производственной функции исследователь должен руководствоваться закономерностями изменения всех рассмотренных показателей. В некоторых случаях выбранную форму производственной функции приходится отвергать, потому что соответствующая ей система показателей противоречит результатам качественного анализа или эмпирическим данным. С другой стороны предварительные заключения о характере изменений рассмотренных показателей могут стать основным доводом в пользу выбора той или иной формы производственной функции.
55. Модели бинарного выбора
Результативная переменная у в нормальной линейной модели регрессии является непрерывной величиной, способной принимать любые значения из заданного множества. Но помимо нормальных линейных моделей регрессии существуют модели регрессии, в которых переменная у должна принимать определённый узкий круг заранее заданных значений.
Моделью бинарного выбора называется модель регрессии, в которой результативная переменная может принимать только узкий круг заранее заданных значений
В качестве примеров бинарных результативных переменных можно привести:
Приведенные в качестве примеров бинарные переменные являются дискретными величинами. Бинарная непрерывная величина задаётся следующим образом:
Если стоит задача построения модели регрессии, включающей результативную бинарную переменную, то прогнозные значения yiпрогноз, полученные с помощью данной модели, будут выходить за пределы интервала [0;+1] и не будут поддаваться интерпретации. В этом случае задача построения модели регрессии формулируется не как предсказание конкретных значений бинарной переменной, а как предсказание непрерывной переменной, значения которой заключаются в интервале [0;+1].
Решением данной задачи будет являться кривая, удовлетворяющая следующим трём свойствам:
1) 1) F(–∞)=0;
2) F(+∞)=1;
3) F(x1)>F(x2) при условии, чтоx1> x2.
Данным трём свойствам удовлетворяет функция распределения вероятности.
Модель парной регрессии с результативной бинарной переменной с помощью функции распределения вероятности можно представить в следующем виде:
prob(yi=1)=F(β0+β1xi),
где prob(yi=1) – это вероятность того, что результативная переменная yi примет значение, равное единице.
В этом случае прогнозные значения yiпрогноз, полученные с помощью данной модели, будут лежать в пределах интервала [0;+1].
Модель бинарного выбора может быть представлена с помощью скрытой или латентной переменной следующим образом:
Векторная форма модели бинарного выбора с латентной переменной:
В данном случае результативная бинарная переменная yi принимает значения в зависимости от латентной переменной yi*:
Модель бинарного выбора называется пробит-моделью или пробит-регрессией (probit regression), если она удовлетворяет двум условиям:
1) остатки модели бинарного выбора εi являются случайными нормально распределёнными величинами;
2) функция распределения вероятностей является нормальной вероятностной функцией.
Пробит-регрессия может быть представлена с помощью выражения:
NP(yi)=NP(β0+β1x1i+…+βkxki),
где NP – это нормальная вероятность (normal probability).
Модель бинарного выбора называется логит-моделью или логит-регрессией (logit regression), если случайные остатки εi подчиняются логистическому закону распределения.
Логит-регрессия может быть представлена с помощью выражения:
Данная модель логит-регрессии характеризуется тем, что при любых значениях факторных переменных и коэффициентов регрессии, значения результативной переменной yi будут всегда лежать в интервале [0;+1].
Обобщённый вид модели логит-регрессии:
Достоинством данной модели является то, что результативная переменная yi может произвольно меняться внутри заданного числового интервала (не только от нуля до плюс единицы).
Логит-регрессия относится к классу функций, которые можно привести к линейному виду. Это осуществляется с помощью преобразования, носящего название логистического или логит преобразования, которое можно проиллюстрировать на примере преобразования обычной вероятности р:
Качество построенной логит-регрессии или пробит-регрессии характеризуется с помощью псевдо коэффициента детерминации, который рассчитывается по формуле:
Если значение данного коэффициента близко к единице, то модель регрессии считается адекватной реальным данным.
56. Метод максимума правдоподобия
Метод максимума правдоподобия (maximum likelihood function) применяется для определения неизвестных коэффициентов модели регрессии и является альтернативой методу наименьших квадратов. Суть данного метода состоит в максимизации функции правдоподобия или её логарифма.
Общий вид функции правдоподобия:
где
– это геометрическая сумма, означающая перемножение вероятностей по всем возможным случаям внутри скобок.
