Антиномии оказались бы тогда, говоря словами Маймона, попытками установить отношение определяемости между понятиями, которые ни в каком отношении определяемости стоять не могут.
Эта скромная задача – введения нового рода обозначения, должна иметь, я думаю, немаловажные последствия. Знаем же мы немало примеров из истории науки, когда новое слово, новое обозначение, обобщающее в одну единую группу много отдельных случаев, оказывалось плодотворным и по существу дела.
Ход нашего исследования будет таков. Сначала мы познакомимся с метафизикой мнимых величин Гаусса, приведя его собственные определения, и затем покажем, что способ толкования Гаусса не ограничен одной областью математики. В заключение мы рассмотрим некоторые из тех объектов мышления, к которым по аналитической природе их могут быть применены определения Гаусса.
Прежде чем привести цитату из Гаусса, я позволю себе одно замечание. Согласно защищаемому здесь взгляду, метафизика мнимых величин Гаусса дает весьма общее указание, как устранять фиктивные понятия. Такие понятия встречаются не в одной только математике и метод их устранения везде один и тот же. Но этими фиктивными понятиями описывается совершенно абстрактно, какое может быть отношение между объектами мышления, совершенно отвлекаясь от вопроса о том, реализуется ли такая возможность конкретными условиями воззрения и опыта или нет. Эту возможность описывает первая часть цитаты Гаусса. Во второй же части показывается на частном случае, что воззрение на самом деле реализует описанную ранее возможность.
Гаусс дает метафизику картины, использованной уже в целях разъяснения Wallis'ом, когда он пишет:
«Положительные и отрицательные числа могут найти применение только там, где сосчитанному противостоит нечто противоположное, что в соединении с ним дало бы в результате нуль. Точнее говоря, это условие осуществляется только там, где сосчитанное составляют не субстанции (сами по себе мыслимые предметы), а отношения между двумя предметами. Постулируется при этом, что предметы эти располагаются определенным образом в один ряд, например, А, В, С, D… , и что отношение А к В может мыслиться равным отношению В к С и т. д. Здесь в понятие противоположности не входит ничего больше, кроме перестановки членов отношения, так что если отношение (или переход) от А к В есть + 1, то отношение от В к А должно быть выражено через – 1.
Так как такой ряд беспределен с обеих сторон, то всякое реальное целое число представляет отношение любого избранного началом члена к определенному члену ряда».
(Простейший образ этого модуса перехода дает перемещение в пространстве. Если я перехожу от А к В и затем обратно от В к А, то общий результат моего относительного перемещения равен нулю. Я могу поэтому сказать: АВ ± ВА = 0).
«Если же предметы таковы, что они не могут быть расположены в один, хотя бы и беспредельный ряд, а могут располагаться только в ряды рядов, или – что то же самое – они образуют многообразие двух измерений; если, далее, с отношениями одного ряда к другому, или с переходами из одного в другой дело обстоит так, как с переходами от одного члена к другому члену того же ряда, то для измерения перехода от одного члена системы к другому нужны, очевидно, кроме прежних единиц + 1 и – 1, еще две другие противоположные друг другу единицы + i и – i. Кроме того, здесь должно еще, очевидно, постулировать, что единица i означает здесь всякий раз переход от одного данного члена ряда к определенному члену непосредственно примыкающего к первому ряда. Таким образом система может быть двояким образом расположена в ряды рядов.
Математик совершенно отвлекается от свойств предметов и содержания их отношений. Его задача ограничивается счетом и взаимным сравнением отношений. На этом основании он не только в праве считать однородными отношения, обозначенные через + 1 и – 1, но в праве распространить эту однородность и на все четыре элемента + 1, – 1, + i и – i.
Наглядно эти соотношения могут быть представлены только в пространстве. Простейший случай тот, в котором нет основания располагать символы предметов иначе, чем в квадрате: при помощи двух систем параллельных линий, перекрещивающихся под прямым углом, разделяют беспредельную плоскость на квадраты и точки пересечения избирают символами. Каждая такая точка А имеет четырех соседей, и если отношение точки А к какой-нибудь соседней точке обозначить через + 1, то тем самым уже определена точка, которую следует обозначить через – 1, между тем как через + i можно обозначить любую из двух других, или через + i можно по произволу обозначить точку справа и слева от точки А. Раз мы твердо (хотя и по произволу) установили, что такое вперед и назад в самой плоскости и что верх и низ относительно обеих сторон плоскости, то различие между правым и левым в себе вполне определено, хотя другим мы можем сообщить наше воззрение этого различия только ссылкой на действительно существующие материальные вещи. Но если мы и относительно последнего пришли к определенному решению, то нетрудно видеть, что все же от нашей воли зависит, какой из двух перекрещивающихся рядов назвать главным рядом и какое направление в нем связывать с положительными числами; далее видно также, что если отношение, которое раньше обозначалось через + i, теперь обозначать через + 1, то приходится отношение, которое раньше обозначалось через – 1, теперь обозначить через + i. На языке математиков это обозначает, что + i есть некоторая средняя пропорциональная величина между + 1 и – 1, что обозначается знаком √ – 1. Мы намеренно говорим «некоторая», потому что и – i тоже, очевидно, есть такая величина. Здесь, следовательно, наглядное значение √ – 1 вполне доказуемо, а больше ничего и не требуется, чтобы допустить эту величину в область предметов арифметики8.
Если бы мы + 1, – 1, √ – 1 называли не положительной, отрицательной, мнимой (или даже невозможной) единицей, а, допустим, прямой, обратной, латеральной (боковой) единицей, то вряд ли могла бы быть речь о такой темноте».
К чему же сводится руководящая методологическая идея, лежащая в основе всех этих великих мыслей? Она может быть выражена, мне кажется, в виде следующего вопроса: из каких элементов состоящим мы должны считать данное образование для того, чтобы форма, в которой оно мыслилось бы возможным, т. е. чтобы его понятие соответствовало общей закономерности нашего мышления? Или: как результат каких действующих друг на друга факторов должен рассматриваться данный продукт, чтобы быть логически понятным? – Многие явления нашей жизни, носящие характер рядов, понимаются по аналогии с положительными и отрицательными числами. Правое – левое, верх – низ, прошлое – будущее – все это ряды, в которых, остановившись на одной определенной точке, мышление может направляться только по двум прямо противоположным друг другу и потому в результате компенсирующим друг друга направлениям.
Но столь же, по меньшей мере, важны и те явления, которые могут быть размещены только в ряды рядов. Очень элементарный пример таковых представляют лица, принадлежащие одновременно к двум профессиям; так, военный врач принадлежит одновременно к ряду «офицер» и к ряду «врач». Лучший пример представляют известные комплексы качеств, как «цвет», который в этом случае состоит из трех многообразий; цветовой тон – степень насыщенности – сила света. Все это – связующие выражения, распадающиеся на ряды, хотя и нельзя указать качества, многообразиями которого эти ряды являются. Но подобно тому, как линия, поверхность, тело суть многообразия качества «протяженность», так есть другие сочетания понятий, которые могут быть истолкованы как осуществления, как фактические стороны одного единого процесса, куда они входят, однако, как части логически самостоятельные.
В таком отношении друг к другу стоят «стороны» кантовского понятия опыта. Познание, по Канту, есть всегда прежде всего понятие двух измерений; оно образуется как результат взаимодействия воззрения и логического мышления. Но этого мало: конструированный в воззрении объект должен быть также отнесен к не данной нам в явлении вещи в себе, которую он для нас представляет. Опыт есть тогда, говоря языком школы, понятие двух измерений, отнесенное при помощи суждения к чему-то трансцендентно существующему. Если мы область латеральных к логике величин, т. е. область по роду своему отличных от логических, но все же априорных величин назовем «чувственностью», то все суждения познания получают нижеследующую форму: рассмотри некоторую вещь, конструированную мышлением. Если она может быть выражена в понятиях чувственности, то я мыслю ее еще раз в другом измерении. Это конструированное понятие или может быть отнесено к предмету, или же нет. Во втором случае, когда его невозможно, так сказать, мыслить за его пределами, то пред нами область, которую в настоящее время так охотно называют областью идеального – свободная математика. Если же оно может быть отнесено к предмету, то к прежним присоединяется еще новый член, с символом, требующим перехода в новое, латеральное к двум прежним, измерение. Впервые суждение этой формы есть для Канта суждение познания и предмет такого суждения есть прежде всего опыт. Это третье измерение суждения опыта я называю истинным измерением, а не только качеством потому, что оно есть определяющий фактор, связанный с двумя другими – мышлением и воззрением – в одну систему, – в систему опыта. Такие определения, как уже сказано, методологически полезны тем, что они дают возможность ввести понятие размерности, как символ, в трансцендентальную философию, каковое новшество позволит нам сейчас же усмотреть самостоятельность и работоспособность всякого понятия и оградит нас от установления отношений между понятиями различных размерностей.
