То, что мы говорили до сих пор, касалось только физического содержания излагаемой нами картины мира и исчерпывает это содержание в рамках нашей статьи. Будет целесообразно посвятить несколько слов и специально математической форме, в которой мы хотим выразить эту картину. То содержание совершенно не зависит от этой формы, и будет, пожалуй, не совсем умно давать не совсем обычное содержание в необычной же форме. Но как форма, так и содержание лишь весьма малым отличаются от хорошо знакомых; кроме того, именно это содержание и эта форма так соответствуют друг другу, и преимущества их взаимно подкрепляют друг друга. Существенный признак нашей терминологии заключается в том, что она с самого начала заставляет представлять целые системы точек, а не исходить каждый раз из отдельных точек. Каждому знакомы и причины выражения: «положение системы точек» и «движение системы точек». Не будет неестественным развитием и продолжением той же терминологии, если мы всю совокупность положений системы, через которые она проходит в своем движении, назовем ее путем. Каждая мельчайшая часть этого пути есть тогда элемент пути. Из двух элементов пути один может быть частью другого; они различаются тогда еще по величине и только по ней. Но два элемента пути, имеющие своим началом одно и то же положение, могут принадлежать к двум различным путям; в таком случае, ни один из них не есть часть другого и они различаются между собою не только по величине; мы говорим тогда, что они имеют различное направление. Этими утверждениями признаки «величина» и «направление», разумеется, не определены еще однозначно для движения системы, но мы можем наши определения так дополнить геометрически или аналитически, чтобы выводы из них не находились в противоречии ни между собой, ни со всем сказанным выше, но вместе с тем чтобы определенные таким образом величины в геометрии системы точно соответствовали тем величинам, которые мы обозначаем тем же названием в геометрии точки, с каковыми известными величинами они всегда и совпадают, как только система сводится к точке. Но раз определены признаки «величина» и «направление», то само собой напрашивается называть прямолинейным тот путь системы, в котором все элементы имеют одно и то же направление, и криволинейным – тот, в котором направление элементов от положения к положению изменяется. Мерой кривизны само собою является, как в геометрии точки, изменение скорости направления с изменением положения. Этим определением нам дан уже целый ряд отношений, и число их возрастает, если свобода движения рассматриваемой системы ограничивается ее связями. В особенности привлекают тогда внимание некоторые классы путей, которые среди всех возможных путей выделяются особыми простыми свойствами. Сюда относятся прежде всего те пути, которые во всяком из своих положений возможно менее криволинейны; мы назовем их самыми прямолинейными путями системы. И именно их имели в виду, когда мы говорили об основном законе. Далее, сюда относятся те пути, которые образуют кратчайшую связь между какими-либо двумя положениями; мы назовем их кратчайшими путями системы. При известных условиях понятия самых прямолинейных и самых кратчайших путей совпадают. Это отношение становится нам даже весьма знакомым, если вспомнить теорию кривых поверхностей, но оно вовсе не имеет общего значения, существующего при всех условиях. Перечисление и систематизация всех возникающих здесь отношений относятся к геометрии точки, развитие которой представляет интерес в математическом отношении, но мы этим займемся лишь настолько, насколько этого требует поставленная нами себе цель физического применения. Так как система из n точек представляет собою многообразие движения 3 n измерений, которое может быть, однако, уменьшено связями системы до любого числа, то здесь возникает множество аналогий с геометрией пространства многих измерений – аналогий, идущих подчас столь далеко, что одни и те же положения и обозначения могут иметь и тут и там значение. Но в наших интересах определенно указать на то, что эти аналогии носят только формальный характер и что, несмотря на порою чуждый ему оттенок, наше исследование касается исключительно конкретных образований пространства нашего чувственного мира и что все наши утверждения касаются возможного опыта и могли бы быть подтверждены, если бы в этом оказалась необходимость, непосредственными опытами, именно, измерением на моделях. Мы не должны, следовательно, опасаться упрека в том, что для построения нашей опытной науки мы оставляем мир опыта. Зато нам нужно дать ответ на другой вопрос, а именно: возмещаются ли известными преимуществами неудобства новой и непривычной терминологии и каковы эти преимущества? Первое преимущество заключается в большой простоте и краткости, с какой может быть выражена большая часть наших общих и многообъемлющих утверждений. И действительно, для положений, характеризующих целые системы, здесь требуется не больше слов и не больше понятий, чем это потребовалось бы при обычной терминологии для характеристики одной только точки. Механика материальной системы здесь не представляется более расширенной и усложненной, чем механика отдельной точки, а механика точки отпадает, как предмет самостоятельного исследования, или, если и подлежит исследованию, то только как упрощение и частный случай механики системы. Если нам кто-нибудь возразит, что эта простота – искусственная, то мы на это ответим, что нет вовсе никакого другого метода для создания простых отношений, кроме искусственного и хорошо взвешенного приспособления наших понятий к подлежащим изображению фактическим отношениям. Если же в этом упреке в искусственности имеется в виду побочный смысл искомого и неестественного, то на это мы должны возразить, что с бóльшим правом, пожалуй, можно назвать естественным и близким рассмотрение целых систем, чем рассмотрение отдельных точек. Ведь, на самом деле нам непосредственно дана материальная система, а отдельная точка массы есть абстракция. Весь действительный опыт непосредственно получается только на системах, а опыт, возможный на простых точках, получается отсюда только путем умозаключений. Второе, правда, не весьма существенное, преимущество мы усматриваем в форме, которая может быть придана основному закону нашими математическими выводами. Без них нам пришлось бы разложить его на первый закон Ньютона и гауссовский принцип наименьшего принуждения. Оба вместе выражали бы, правда, вполне один и тот же факт, но рядом с этим фактом они выражали бы в виде намека кое-что еще, и это кое-что уже лишнее. Во-первых, они вызывают то чуждое нашей механике представление, будто связи материальных систем могут быть и нарушены, хотя мы и охарактеризовали их, как существующие с самого начала и совершенно ненарушимые. Во-вторых, пользование принципом Гаусса неизбежно связано с побочным представлением, будто в нем сообщается не только факт, но и основание этого факта. Нельзя утверждать, что природа постоянно сохраняет возможно малой величину, которую называют принуждением, не намекая, что это происходит именно потому, что эта величина есть для природы принуждение, т. е. означает чувство неудовольствия. Нельзя утверждать, будто природа поступает, как разумный человек, уравнивающий свои наблюдения, не намекая, что и тут и там метод этот основывается на вполне обдуманных расчетах. Правда, именно в подобных побочных соображениях заключается особая прелесть, и Гаусс сам показал нам это своей основательной радостью по поводу своего столь важного для механики открытия. Но нельзя не согласиться с тем, что эта прелесть заключается в заигрывании с таинственным; серьезно же мы сами не верим, чтобы подобными намеками можно было решать мировую загадку. Наш собственный основной закон совершенно свободен от подобных намеков. Принимая точно форму обыкновенного закона инерции, он, подобно ему, выражает только голый факт, без всякого намека на обоснование его. В такой же мере, в какой он представляется из-за этого беднее и неприкрашеннее, он честнее и правдивее. Но, может быть, пристрастие к тому небольшому изменению, которое я сам внес в принцип Гаусса, заставляет меня видеть в нем преимущества, скрытые от чужих глаз. Всякий, однако, признает, я надеюсь, третье преимущество нашего метода, заключающееся в том, что он бросает яркий свет на придуманный Гамильтоном способ обсуждения проблем механики при помощи характеристических функций. За шестьдесят лет своего существования этот способ встречал немало признаний, но он большей частью рассматривался как новая побочная отрасль механики, рост и дальнейшее развитие которой должны идти рядом с обыкновенным методом механики и независимо от него. В нашей же форме математического изложения метод Гамильтона не носит характера побочной отрасли, а является прямым, естественным и, так сказать, само собою разумеющимся продолжением элементарных утверждений во всех тех случаях, в которых он вообще находит применение. Ясно также из нашего изложения и то, что метод Гамильтона не коренится в особых физических основах механики, как это обычно принимают; он есть в основе своей чисто геометрический метод, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и с этой последней не находится в более тесной связи, чем всякое другое геометрическое познание, использованное механикой. Впрочем, со стороны математиков было давно уже замечено, что метод Гамильтона содержит чисто геометрические истины и для ясного выражения их требует своеобразной, приспособленной к нему, терминологии. Факт этот был выражен только в несколько спутанной форме, именно, в аналогиях, которые были найдены при развитии идей Гамильтона между обыкновенной механикой и геометрией многомерного пространства. Наша терминология дает простое и понятное объяснение этим аналогиям; она дает возможность пользоваться преимуществами их, избегая неестественность сочетания одной отрасли физики с абстракциями, выходящими за пределы наших чувств.
