69. Спецификация переменных
Спецификацией переменных называется процесс отбора наиболее важных факторных переменных при построении модели регрессии.
Если в процессе эконометрического моделирования была осуществлена неправильная спецификация переменных, то это может привести к негативным последствиям, среди которых особо можно выделить два пункта:
1) из модели регрессии могут быть исключены факторные переменные, оказывающие наибольшее влияние на результативную переменную;
2) в модель регрессии могут быть включены факторные переменные, практические не связанные с результативной переменной или оказывающие на неё незначительное воздействие.
Предположим, что на основе собранных данных была построена нормальная модель множественной регрессии вида:
Y=Xβ+ε(1)
Данную модель можно рассматривать как базисную или ограниченную модель регрессии между исследуемыми переменными.
Тогда неограниченная модель данной регрессионной зависимости будет иметь вид:
Y=Xβ+Zλ+ε(2)
где Y – вектор результативных переменных;
X – вектор количественных факторных переменных;
Z – некоторая фиктивная переменная;
Β, λ – вектор неизвестных коэффициентов модели регрессии без ограничений, подлежащих оцениванию.
Рассмотрим случай исключения факторных переменных, оказывающих наибольшее влияние на результативную переменную, из модели регрессии.
Предположим, что модель регрессии с ограничениями является значимой. Исходя из этого условия, рассчитаем оценку коэффициента β, полученную методом наименьших квадратов, в оцениваемой модели регрессии с ограничениями (1):
Подставим в данную формулу вместо Y выражение Xβ+Zλ+ε:
Охарактеризуем полученную оценку коэффициента β модели регрессии с ограничениями с точки зрения свойства несмещённости. Для этого рассчитаем математическое ожидание оценки
где BIAS – это смещение оценки коэффициента β.
Таким образом, оценка
является смещённой, и устранить эту смещённость невозможно, даже при условии увеличения объёма выборочной совокупности.
Оценка коэффициента β модели регрессии с ограничениями (1) будет обладать свойством несмещённости в двух случаях:
1) если коэффициент при фиктивной переменной Z будет равен нулю:
2) при условии, что пропущенные переменные будут ортогонально включены в модель:
XTZ = 0.
Рассчитаем ковариацию оценки коэффициента β модели регрессии с ограничениями (1):
Матрица ковариаций МНК-оценок принимает такой вид только в том случае, если модель (1) является значимой.
Рассмотрим случай, когда в модель регрессии могут быть включены факторные переменные, практические не связанные с результативной переменной или оказывающие на неё незначительное воздействие.
Предположим, что модель регрессии без ограничений (2) является значимой. Исходя из этого условия, оценим коэффициенты модели регрессии с ограничениями (1).
Представим регрессионную модель с ограничениями (1) в следующем виде:
Пусть W – это переменные (X,Z) модели регрессии. Тогда оценка коэффициента β модели регрессии без ограничений может быть записана следующим образом:
Охарактеризуем полученную оценку коэффициента β модели регрессии без ограничений с точки зрения свойства несмещённости. Для этого рассчитаем математическое ожидание оценки
Следовательно, оценка
является несмещённой оценкой коэффициента регрессии β модели (2). Если в данную модель включить один дополнительный фактор, то оценки уже включённых факторных переменных свойства несмещённости не утратят. Но если в модель регрессии будут включены много лишних параметров, то точность оценок будет падать.
Матрица ковариаций МНК-оценок модели регрессии без ограничений будет иметь вид:
Матрица ковариаций будет иметь такой вид только в случае значимости модели регрессии без ограничений.
70. Компоненты временного ряда
Временным рядом называется ряд наблюдаемых значений изучаемого показателя, расположенных в хронологическом порядке или в порядке возрастания времени.
Отдельно взятый временной ряд можно представить как выборочную совокупность из бесконечного ряда значений показателей во времени.
Уровнями временного ряда называются наблюдения
из которых состоит данный ряд.
Временной ряд называется моментным рядом, если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определённый момент времени.
Временной ряд называется интервальным рядом, если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определённый период времени.
Временной ряд называется производным рядом, если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей).
Исследование данных, представленных в виде временных рядов, преследует две основные цели:
1) характеристика структуры временного ряда;
2) прогнозирование будущих уровней временного ряда на основании прошлых и настоящих уровней.
Достижение поставленных целей возможно с помощью идентификации модели временного ряда.
Идентификацией модели временного ряда называется процесс выявления основных компонент, которые содержит изучаемый временной ряд.
Временные ряды могут содержать два вида компонент – систематическую и случайную составляющие.
Систематическая составляющая временного ряда является результатом воздействия постоянно действующих факторов.
Выделяют три основных систематических компоненты временного ряда:
1) тренд;
2) сезонность;
3) цикличность.
Трендом называется систематическая линейная или нелинейная компонента, изменяющаяся во времени.
Сезонностью называются периодические колебания уровней временного ряда внутри года.
Цикличностью называются периодические колебания, выходящие за рамки одного года. Промежуток времени между двумя соседними вершинами или впадинами в масштабах года определяют как длину цикла.
Систематические составляющие характеризуются тем, что они могут одновременно присутствовать во временном ряду.
Случайной составляющей называется случайный шум или ошибка, которая воздействует на временной ряд нерегулярно.
К основным причинам, по которым возникает случайный шум, относят факторы резкого и внезапного действия, а также действия текущих факторов.
Катастрофическими колебаниями называется случайный шум, в основе возникновения которого лежат факторы резкого и внезапного действия.
Шум, в основе возникновения которого лежит действие текущих факторов, может быть связан также с ошибками наблюдений.
Отдельный уровень временного ряда обозначается как yt. Его можно представить в виде функции от основных компонент временного ряда следующим образом:
yt=f(T,S,C,ε),
где T – это трендовая компонента,
S – это сезонная компонента,
C – это циклическая компонента,
ε – случайный шум.
Существует несколько основных моделей временных рядов, к которым относятся:
1) аддитивная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой слагаемые:
yt=Tt+St+Ct+εt;
2) мультипликативная модель временного ряда, в которой компоненты представляют собой сомножители:
yt=Tt*St*Ct*εt;
3) комбинированная модель временного ряда:
yt=Tt*St*Ct+εt.
71. Метод проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду, основанный на сравнении средних уровней ряда
Наличие во временном ряду трендовой компоненты не всегда можно определить с помощью графика. Поэтому для выявления этой компоненты используются специальные критерии проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду.
Рассмотрим следующие критерии проверки гипотезы о существовании тренда во временном ряду:
1) критерий, основанный на сравнении средних уровней временного ряда;
2) критерий «восходящих и нисходящих» серий;
3) критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности.
При проверке гипотезы о существовании тренда во временном ряду с помощью критерия, основанного на сравнении средних уровней, временной ряд из N наблюдений делится на две равные части. Объём первой части yi равен
