и объём второй части yj равен
Обе части временного ряда рассматриваются как самостоятельные выборочные совокупности, подчиняющиеся нормальному закону распределения.
Для каждой из выборок yi и yj рассчитываются следующие выборочные характеристики:
1) средние арифметические значения:
2) выборочные дисперсии:
При проверке предположения о наличии во временном ряду трендовой компоненты выдвигается основная гипотеза о равенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей:
H0:μi=μj.
Альтернативной или обратной является гипотеза о неравенстве генеральных средних для двух образованных выборочных совокупностей:
H0:μi≠μj.
Основная гипотеза вида H0:μi=μj проверяется при справедливости предположения о равенстве генеральных дисперсий:
Гипотеза о равенстве дисперсий проверяется с помощью F-критерия Фишера.
Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.
Критическое значение F-критерия Фишера определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы
k1=n–1 и k2=N–n–2.
Наблюдаемое значение F-критерия при проверке основной гипотезы вида
определяется по формуле:
при условии, что
При проверке выдвинутых гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то основная гипотеза отклоняется.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т.е. Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза принимается.
Гипотеза о равенстве генеральных средних проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.
Критическое значение t-критерия tкрит(а,N–2) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (N–2) – число степеней свободы.
Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы вида H0:μi=μj определяется по формуле:
При проверке гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл>tкрит, то основная гипотеза отвергается, и генеральные средние двух выборок не равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. tнабл≤tкрит, то основная гипотеза принимается, и генеральные средние двух выборок равны между собой. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.
72. Критерий «восходящих и нисходящих» серий. Критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности
При использовании для проверки утверждения о присутствии во временном ряду трендовой компоненты критерия «восходящих и нисходящих» серий, против каждого из уровней временного ряда объёмом N ставится знак «+», если данный уровень больше предыдущего, или знак «-», если уровень меньше предыдущего. В результате данной процедуры получаем совокупность знаков объёмом (N-1).
Последовательность из знаков «+» или «-» называется серией. Обозначим общее количество серий данного временного ряда как γ. Самую длинную серию из плюсов или минусов обозначим как φ.
Основная гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии трендовой компоненты во временном ряду.
Если хотя бы одно из следующих неравенств не выполняется, то основная гипотеза об отсутствии тренда отклоняется.
1)
2) φ набл≤φ0,
где φ0=5, если N<26;
φ0=6, если 26<N<153;
φ0=7, если 153<N<170.
Гипотеза об отсутствии тренда проверяется при уровне значимости а=0,05.
При использовании для проверки утверждения о присутствии во временном ряду трендовой компоненты критерия серий, основанного на медиане выборочной совокупности, временной ряд объёмом N ранжируется, т. е. все наблюдения упорядочиваются по возрастанию, и рассчитывается медиана ранжированного ряда.
Медианой называется наблюдение, которое делит ранжированный временной ряд на две равные части.
Если временной ряд содержит нечётное количество наблюдений, то в качестве медианы принимается значение, стоящее в середине данного ряда.
Если временной ряд содержит чётное количество наблюдений, то в качестве медианы берётся среднее арифметическое значение двух наблюдений, находящихся посередине временного ряда.
Уровни исходного временного ряда сравниваются с медианой по следующему принципу:
1) если уровень временного ряда больше медианы, то ему приписывается знак «+»;
2) если уровень временного ряда меньше медианы, то ему приписывается знак «-».
Обозначим общее количество серий данного временного ряда как γ. Самую длинную серию из плюсов или минусов обозначим как φ.
Основная гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии трендовой компоненты во временном ряду.
Если хотя бы одно из следующих неравенств не выполняется, то основная гипотеза об отсутствии тренда в изучаемом временем ряду отклоняется:
Гипотеза об отсутствии тренда проверяется при уровне значимости а=0,05.
73. Метод Форстера-Стьюарта проверки гипотез о наличии или отсутствии тренда. Метод Чоу проверки стабильности тенденций
Одним из наиболее простых методов выявления трендовой компоненты во временном ряду является метод Форстера-Стьюарта.
На первом шаге реализации данного метода каждый уровень временного ряда yt
сравнивается со всеми предыдущими уровнями. На основании результатов сравнений рассчитываются вспомогательные величины:
Величина dt может принимать значения +1, 0, -1.
Общее количество вспомогательных величин будет равно (N-1).
На следующем шаге все значения величины dt суммируются, и рассчитывается величина D по формуле:
Основная гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии трендовой компоненты во временном ряду.
Основная гипотеза проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.
Критическое значение t-критерия tкрит(а,N–1) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (N-1) – число степеней свободы.
Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы определяется по формуле:
где SD – стандартное отклонение величины D. Значения SD для временных рядов, длиной от 10 до 100 наблюдений, занесены в специальную таблицу.
При проверке гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|>tкрит, то основная гипотеза отвергается. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза принимается. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.
С помощью метода или теста Чоу проверяется основная гипотеза о стабильности временного ряда. Если ряд характеризуется нестабильной тенденцией, то с определённого момента времени t* происходит изменение характера динамики анализируемого показателя под влиянием ряда внешних факторов, что в результате приводит к изменению параметров уравнения тренда, описывающего данную динамику.
