Следовательно, весь временной ряд можно разделить на две подвыборки: первая подвыборка содержит значения временного ряда до переломного момента t* и вторая подвыборка содержит значения временного ряда после переломного момента.
Будем считать, что весь временной ряд представляет собой модель регрессии модель без ограничений. Обозначим данную модель через UN. Отдельными подвыборками будем считать частные случаи модели регрессии без ограничений. Обозначим эти частные подвыборки как PR.
Введём следующие обозначения:
PR1 – первая подвыборка;
PR2 – вторая подвыборка;
ESS(PR1) – сумма квадратов остатков для первой подвыборки;
ESS(PR2) – сумма квадратов остатков для второй подвыборки;
ESS(UN) – сумма квадратов остатков для общей модели регрессии.
– сумма квадратов остатков для наблюдений первой подвыборки в общей модели регрессии;
– сумма квадратов остатков для наблюдений второй подвыборки в общей модели регрессии.
Для частных моделей регрессии справедливы следующие неравенства:
Условие (ESS(PR1)+ESS(PR2))= ESS(UN) выполняется только в том случае, если коэффициенты частных моделей регрессии и коэффициенты общей модели регрессии без ограничений будут одинаковы, но на практике такое совпадение встречается очень редко.
Основная гипотеза формулируется как утверждение о структурной стабильности тенденции общего временного ряда.
Альтернативная или обратная гипотеза формулируется как утверждение о структурной нестабильности тенденции общего временного ряда
Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.
Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.
Критическое значение F-критерия Фишера определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы k1=m+1 и k2=n-2m-2.
Наблюдаемое значение F-критерия рассчитывается по формуле:
где ESS(UN) – ESS(PR1) – ESS(PR2) – величина, характеризующая улучшение качества модели регрессии после разделения её на подвыборки;
m – количество факторных переменных (в том числе фиктивных);
n – объём общей выборочной совокупности.
При проверке выдвинутых гипотез возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл≥Fкрит, то основная гипотеза отклоняется. Следовательно, исходный временной ряд не имеет общей стабильной тенденции.
Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл‹Fкрит, то основная гипотеза принимается. Следовательно, исходный временной ряд может быть описан одним трендовым уравнением.
74. Аналитический вид тренда
Метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста является основным методом представления тренда в аналитическом виде, используемым в эконометрике. Суть данного метода заключается в аппроксимации временного ряда определённой формой регрессионной кривой. При этом наиболее проблематичным является вопрос о выборе функции тренда.
Выбор выравнивающей кривой может осуществляться на основании заранее заданных критериев, к которым относятся:
1) множественный коэффициент детерминации;
2) сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений временного ряда от теоретических значений (рассчитанных с помощью функции тренда).
Методом конечных разностей называется метод, позволяющий подобрать подходящую форму кривой. Его применение возможно в том случае, если временной ряд содержит равностоящие друг от друга уровни.
Конечной разностью первого порядка (разностным оператором первого порядка) называется разность между соседними уровнями временного ряда:
Разностным оператором второго порядка (конечной разностью второго порядка) называется разность между соседними разностными операторами первого порядка:
В общем случае разностным оператором i-го порядка называется разность между соседними разностными операторами (i-1)-го порядка:
Если разностные операторы первого порядка постоянны и равны между собой
а разностные операторы второго порядка равны нулю
то тренд изучаемого временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией вида y=a+β*t+ε.
Если разностные операторы второго порядка постоянны и равны между собой
а разностные операторы третьего порядка равны нулю
то тренд изучаемого временного ряда можно аппроксимировать параболической функцией второго порядка вида y=a+β1*t+β2*t2..
Следовательно, порядок разностных операторов, являющихся постоянными для данного временного ряда, определяет степень уравнения тренда:
y=∑βj*tj.
Оценки неизвестных коэффициентов уравнения тренда рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов.
Если тренд временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией, то её коэффициенты можно рассчитать с помощью метода моментов. При этом в модель вводится новая переменная времени T, началом координат которой является середина временного ряда. Таким образом, её сумма по всем элементам равняется нулю.
Для временного ряда, количество уровней которого является нечётным, переменная T=0 соответствует середине данного ряда. Выше нулевого уровня проставляются числа -1, -2, -3,…., а ниже данного уровня – числа +1, +2, +3,…
Для временного ряда, количество уровней которого является чётным, числа -1, -2, -3 и т. д. проставляются до середины ряда, а числа +1, +2, +3 – ставятся после середины ряда.
Линейная модель регрессии с учётом новой переменной принимает вид:
yt=a+β*Tt+εt.
Оценки неизвестных коэффициентов данной модели рассчитываются из системы нормальных уравнений:
Решением данной системы будут оценки коэффициентов уравнения тренда:
75. Адекватность трендовой модели
Трендовая модель считается адекватной описываемому процессу, если значения случайной остаточной компоненты εt являются случайными центрированными некоррелированными нормально распределёнными величинами. Проверка адекватности модели состоит в проверке указанных свойств ряда остатков модели.
Проверка случайности остатков модели осуществляется с помощью критериев исследования временного ряда на предмет наличия в нём трендовой компоненты:
1) критерий, основанный на сравнении средних уровней временного ряда;
2) критерий «восходящих и нисходящих» серий;
3) критерий серий, основанный на медиане выборочной совокупности.
В этом случае вместо исходных уровней временного ряда y1,y2,…,yt используются элементы остаточного ряда e1,e2,…,et.
Также проверка случайности остатков модели может осуществляться с помощью критерия поворотных точек.
При использовании критерия поворотных точек остаток модели et сравнивается с двумя соседними элементами ряда. Если он окажется меньше или больше их, то данная точка является поворотной. В конце сравнений подсчитывается количество m всех поворотных точек. Ряд остатков модели считается случайным, если выполняется условие:
где N – объём выборочной совокупности.
Проверка центрированности остатков временного ряда осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента.
Основная гипотеза формулируется как утверждение о центрированности ряда остатков.
Критическое значение t-критерия tкрит(α/2, N-1) определяется для уровня значимости α/2 и числа степеней свободы (N-1) по таблице распределения Стьюдента.
Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле:
где
– среднее арифметическое значение ряда остатков:
G(e) – среднеквадратическое отклонение ряда остатков:
При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.
Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. tнабл›tкрит, то основная гипотеза отвергается. Следовательно, ряд остатков является не центрированным.
