- Любопытно, - сказал Фило. - Всегда думал, что математика такая же наука, как и все другие, а она, оказывается, какая-то особенная...
- Очень даже особенная, а Реньи показал это на весьма убедительных примерах. Врач имеет дело с реально существующей болезнью. Астроном изучает действительно существующие звезды. Геолог исследует самые что ни на есть подлинные земные недра. Но что изучает математик? Он изучает числа и геометрические формы, которые существуют только в его воображении.
- Позвольте, - вскинулся Фило, - как же так? Послушать вашего Реньи, так и Фибоначчи считал воображаемых кроликов. А они, между прочим, были настоящие. Уж мы-то с вами знаем!
Мате невольно взглянул на обкусанные и кое-как заштопанные обшлага своих джинсов.
- Да, - согласился он не без юмора, - кролики, конечно, были настоящие. Но вам не кажется, что вы смешиваете совершенно разные вещи? Ведь речь идет не о самих кроликах, а о числах, которыми выражена закономерность их размножения.
Фило озадаченно поморгал. А ведь правда! Выходит, кролики кроликами, а числа сами по себе?
- Вот именно, сами по себе! Кроликов, которых подсчитывал Фибоначчи, давным-давно след простыл, а порожденный ими ряд чисел продолжает жить своей независимой жизнью, действовать, приносить людям пользу...
- Удивительно!
- Если вдуматься, очень! Математика вообще удивительная наука. Между прочим, помимо других достоинств, есть у нее и то, что она способна выражать самые разные явления с помощью чисел или буквенных обозначений (что, впрочем, одно и то же). Способность эта, которую отмечали многие известнейшие ученые - такие, например, как Галилей, Лобачевский, Эйнштейн, - сделала математику необходимой буквально во всех отраслях знаний. Чем дальше, тем больше становится она универсальным языком, на котором говорят самые разные науки, и, кстати сказать, не только точные. Вы уже знаете, что Буль выражал алгеброй понятия логические. А в наши дни математику используют даже в литературоведении и языкознании...
Фило покаянно вздохнул. До чего же он отстал от жизни!
- Но не будем все же забывать, - продолжал Мате, - что математика наука обширная. Задачи ее чрезвычайно разнообразны. Наивно было бы думать, что она нужна только физикам, химикам, астрономам, биологам и литературоведам. Математика в первую очередь необходима самим математикам, которые рассматривают ее не только как подспорье для других наук, но прежде всего как самостоятельный предмет изучения.
- Вы хотите сказать, что есть математика прикладная, а есть отвлеченная, то есть теоретическая?
- Совершенно правильно, - оживленно закивал Мате. - И меня лично занимает именно вторая, отвлеченная, или, как говорят, чистая математика. Точнее, один из ее разделов: наука о числе. А еще точнее - целые числа.
- Значит, числа, как я понимаю, интересуют вас сами по себе, независимо от того, что они выражают?
- Да, да и в третий раз да! Числами я заболел с юности. С того самого дня, как прочитал книгу чудесного русского математика Александра Васильевича Васильева. Она называется "Целое число". Теперь, после того как вы научили меня любить стихи, мне не стыдно назвать эту книгу поэмой. Да, то была настоящая поэма, которая ввела меня в необычайный мир чисел, раскрыла их красоту, научила отыскивать скрытые числовые взаимосвязи... С тех пор все свое свободное время я отдавал поискам числовых закономерностей. Они преследовали меня повсюду. Я обнаруживал их в номерах телефонов, на вывесках сберкасс, на номерных знаках автомобилей. Увидав какое-нибудь число, я сейчас же начинал производить с ним всевозможные манипуляции: складывал цифры, перемножал их, менял местами, сопоставлял первые с последними и всегда находил что-нибудь занятное...
Потом я увлекся числовыми треугольниками. Натолкнул меня на это увлечение арифметический треугольник Паскаля. Все числа его связаны между собой железными закономерностями, и это настолько меня поразило, что я стал выдумывать свои собственные числовые треугольники. При этом у меня не было никакой практической задачи, никакой цели. Просто-напросто я играл числами. Но потом, много лет спустя, какой-то из моих треугольников неожиданно пригодился для решения одного из видов дифференциальных уравнений. Другой, изобретенный мною, треугольник оказался удобным подспорьем при решении задачи о колебаниях коленчатого вала.
- Вот даже как! - произнес Фило с невольной робостью. - Остается пожалеть, что вы забросили это интересное занятие...
- Забросил?! - Мате демонически расхохотался. - Так знайте же: не далее чем вчера у меня появился новый числовой треугольник. Желаете убедиться?
- Сделайте одолжение!
- Тогда смотрите сюда. - Мате указал на блокнот. - Перед вами ряд чисел: 1 2 5 13 34 89. Вам он о чем-нибудь говорит?
Фило наморщил лоб.
- Вроде бы что-то знакомое, и в то же время не совсем...
- Молодец! Это и в самом деле знакомый вам ряд чисел Фибоначчи, только неполный. Здесь представлены лишь те числа, которые стоят на нечетных местах: первое, третье, пятое и так далее. Обратите также внимание на то, что этот частичный ряд тоже имеет свою собственную закономерность: каждый член его, начиная со второго, равен сумме всех предыдущих, если при этом ближайшее к нему число слева удвоено...
- Ну-ка, проверим! - сказал Фило. - Действительно: 1 + 2 + 5 + (13 x 2) = 34. Но где же все-таки треугольник? Я его не вижу!
- Немного терпения: я как раз начинаю его строить. Под числами первого ряда, в промежутке между ними, записываю числа, равные разности между двумя вышестоящими числами первого ряда, и получаю вторую строку:
1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
- Смотрите-ка, снова числа Фибоначчи!
Но Мате объяснил, что иначе и быть не могло: ведь каждое число Фибоначчи есть разность между двумя соседними числами ряда.
Далее, составив тем же способом следующие строки, он продолжил таблицу и получил числовой треугольник:
1 2 5 13 34 89
1 3 8 21 55
2 5 13 34
3 8 21
5 13
8
- Вы, конечно, понимаете, - добавил Мате, - что треугольник может быть расширен и удлинен до бесконечности. Так вот, я заметил, что, путешествуя по наклонным рядам этого треугольника, начиная с единицы, можно совершать самые разнообразные зигзаги, каждый раз получая полный ряд чисел Фибоначчи.
Он снова обратился к чертежу и наметил несколько маршрутов по треугольнику.
- А знаете, это и впрямь чертовски занимательно, - признался Фило.
- Погодите, я еще не кончил, - остановил его Мате. - Повернем тот же треугольник по ходу часовой стрелки градусов этак на сорок, заодно увеличив его на несколько строк, а потом сложим числа каждой горизонтальной строки.
- Зачем?
- Сейчас поймете.
Мате выписал треугольник, поставив на уровне каждой строки сумму ее чисел.
1 1
1 2 3
2 3 5 10
3 5 8 13 29
5 8 13 21 34 81
8 13 21 34 55 89 220
13 21 34 55 89 144 233 589
21 34 55 89 144 233 377 610 1563
- Во-первых, обратите внимание на то, что вдоль левой боковой стороны этого числового треугольника расположены последовательные числа Фибоначчи, - сказал он.
- Обратил, - подтвердил Фило. - А во-вторых?
- Во-вторых, исследуя полученные суммы, я увидел, что каждую из них можно, в свою очередь, представить в виде суммы ряда простых чисел. Для порядка начнем с единицы - ведь она как-никак тоже число простое.
1 = 1 (1 слагаемое)
3 = 3 (1 слагаемое)
10=3+7 (2 слагаемых)
29 = 3+7+19 (3 слагаемых)
81 = 3+7+19+23+29 (5 слагаемых)
220 = 3+7+19+23+29+31+37+71 (8 слагаемых)
589 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+79+83+97 (13 слагаемых)
1563 = 3+7+19+23+29+31+37+43+67+71+ 79+83+97+101+103+107+109+113+131+ 137 + 173 (21 слагаемое)
- Чуете? - спросил Мате, закончив таблицу и торжествующе посмеиваясь.
Но Фило лишь виновато хлопал глазами.
- Эх вы!- пристыдил его Мате. - Да тут и ребенку ясно, что количество простых чисел, входящих в каждую сумму, тоже образует ряд Фибоначчи.
- Но это же замечательное открытие! - бурно обрадовался Фило.
- До открытия далеко. Я исследовал только восемь строк треугольника, а их бесконечное множество.
- Так найдите общее доказательство.
- Только и всего? - Мате язвительно осклабился. - Попробуйте-ка сами!
- Э, нет, слуга покорный! Предоставим это мессеру Леонардо, отшутился Фило. - К тому же вы все еще не ответили на мой вопрос.
- Наоборот! - энергично запротестовал Мате. - Я только и делаю, что отвечаю на него. Я показал вам, как перспективна игра с числами вообще и с числами Фибоначчи в частности. Она чревата самыми непредвиденными открытиями, которые могут привести к самым неожиданным практическим результатам. Вот почему я так высоко оцениваю этот удивительный числовой ряд. А теперь...
Он засунул руку в карман, позвякал там медяшками и без всякого видимого перехода предложил Фило отгадать, сколько монет у него в кармане. Фило обиделся: за кого его принимают? Факир он, что ли?
- Ладно! - смилостивился Мате. - Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.
