- Совсем другое дело? - сказал Фило. - Но там, между прочим, были еще две геометрические задачи.
- Благодарю за напоминание. Только теперь ваша очередь решать.
Фило обомлел. Как? От него требуют, чтобы он решал задачу один? Самостоятельно?
- Вот именно, - непреклонно подтвердил Мате. - Единственное, что я могу для вас сделать, это напомнить, в свою очередь, условия задач. Итак, слушайте. Задача вторая. В равносторонний треугольник надо вписать квадрат, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Произвести это следует так, чтобы квадрат вместе с образовавшимся над ним малым треугольником составлял равносторонний пятиугольник.
Фило мрачно вздохнул и задумался. Через некоторое время, однако, лицо его прояснилось. Он взял у Мате блокнот, вычертил равносторонний треугольник АВС и вписал в него квадрат DEFg.
- Само собой разумеется, что квадрат пока что приблизительный, так же как и равносторонний пятиугольник DEBFg.
- Ну, ну, - подбадривал Мате, - дальше...
- Дальше обозначим стороны большого треугольника через a, а стороны пятиугольника через х и рассмотрим прямоугольный треугольник AED. Гипотенуза его АЕ = а - х. Катет ED = х, а катет AD = (a-x)/2. Так ведь?
- Клянусь решетом Эратосфена, так!
- Тогда остается применить теорему Пифагора:
АЕ2 = ED2 + AD2.
А уж отсюда получим выражение:
(а-x)2=x2+ ((a-x)/2)2.
После этого Фило запнулся и посмотрел на Мате так жалобно, что сердце у того не выдержало, и вскоре перед ними красовалось следующее квадратное уравнение:
x2 + 6ах- 3a2 = 0
Решив его, они определили, что
х = (-3 + )а,
и откинулись от стола, весьма удовлетворенные своей деятельностью.
- Ну, - ехидно полюбопытствовал Мате, - что же вы не спросите, почему перед корнем вместо двух знаков только один?
Фило гордо подбоченился: стоит ли спрашивать о том, что и так ясно? Ведь сторона квадрата не может быть отрицательной! Стало быть, минус ни при чем.
Далее он относительно быстро подсчитал, что приближенно равен 3,46, а раз так, значит, х (-3 + 3,46)а =0,46а.
- Всё! Переходим к третьей задаче.
- Надо ли? - усомнился Мате. - Думаю, вы отлично справитесь с ней дома.
И он протянул товарищу листок, на котором было написано: "в равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковыми сторонами 10 вписать равносторонний пятиугольник, один из углов которого - угол при вершине, а одна из сторон лежит на основании треугольника".
-Скряга! - укорил его Фило.
-Ничего, учитесь мыслить самостоятельно! Ну же, не капризничайте... Хотите, объясню вам принцип счета шестидесятеричной системы счисления?
"Нечего сказать, утешил!" - подумал Фило.
- А вы уверены, что я в состоянии это понять? - спросил он довольно кисло.
Мате скорчил гримасу, означающую: "На глупые вопросы не отвечаю", - и приступил к объяснениям.
- Для сравнения возьмем какое-нибудь число, записанное в нашей, десятичной, системе, ну хоть 2324. В этом числе каждый последующий разряд, начиная справа, больше предыдущего в десять раз. Значит, число это можно записать так:
2 х 1000 +3 х 100 + 2 х 10 + 4 х 1,
а это не что иное, как:
2 х 103 + 3 х 102 + 2 х 101 + 4 х 100
В шестидесятеричной системе каждый последующий разряд больше предыдущего не в 10, а в 60 раз. Поэтому та же запись 2324 расшифровывается уже по-другому:
2 х 603 +3 х 603 +2 х 601 + 4 х 600.
А это, - Мате сосредоточенно пошевелил губами, - это составляет 442 924. Добавлю, что цифры в шестидесятеричной системе счисления пишутся на некотором расстоянии друг от друга. Вот, собственно, и всё. Ну как, постижимо?
- Пока - вполне, но в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо были еще какие-то значки...
- Не значки, а римские цифры. Так в шестидесятеричной системе записывают дробные числа. Опять-таки для сравнения возьмем какую-нибудь десятичную дробь. Например: 2,135. Что это такое? Это
2/100 + 1/101 + 3/102 + 5/103
В шестидесятеричной системе место знаменателя 10, естественно, займет другой: 60. Стало быть, если в ответе на алгебраическую задачу у мессера Леонардо было записано
10 22I 7II 42III 33IV 4V 40VI,
то читать это следует так:
1/600 + 22/601 + 7/602 + 42/603 + 33/604 + 4/605 + 40/606
Подсчитайте - и ответ Фибоначчи в десятичном счислении перед вами!
Фило испуганно отшатнулся:
- Вы что? Да я же до утра не кончу!
- Ладно, ладно, - примирительно проворчал Мате, - все уже давно подсчитано. Икс у Леонардо приближенно равен
1,368808107853.
Фило был потрясен. Вычислить иррациональный корень с таким невероятным приближением, да еще в шестидесятеричной системе!
Мате усмехнулся:
- Есть у Фибоначчи вещи и более удивительные...
- Что вы имеете в виду?
Но Мате, которому всегда нравилось разжигать любопытство приятеля, пропустил вопрос мимо ушей.
- Налить вам еще кофе? - спросил он самым светским тоном.
- Конечно, налить. Но вы не ответили на...
- Берите, пожалуйста, сахар.
- Нет, это, наконец, невежливо! - вспылил донельзя заинтригованный гость. - Клянусь решетом Эратосфена, вы узнали что-то в высшей степени интересное. Неужели я не заслужил...
- Успокойтесь, заслужили! - сжалился наконец Мате. - Но сперва скажите: знаете вы что-нибудь о теореме Ферма?
- Вы что, издеваетесь?
- Тогда придется вас просветить, потому что, не зная теоремы Ферма, вы ничего не поймете.
И Мате стал рассказывать.
Краса и гордость французской математики, Пьер Ферма жил в XVII веке (кстати сказать, в те же примерно годы, что и Блез Паскаль). Математика, как ни странно, не была его основным занятием: он был юристом королевского парламента в Тулузе, что, впрочем, не помешало ему сделать множество замечательных открытий и оставить громадное математическое наследие, немалое место в котором занимает так называемая великая теорема Ферма.
Теореме этой суждено было стать такой же мучительной загадкой для человечества, как и пятый постулат Эвклида, с той разницей, что пятому постулату повезло больше: вопрос этот успешно разрешен. Что же до теоремы Ферма, то ни доказать ее, ни опровергнуть возможность ее доказательства пока что не удалось никому. Но об этом после. А сейчас о самой теореме. В чем она заключается?
В математике всегда можно подобрать таких три целых числа, чтобы сумма квадратов двух из них равнялась квадрату третьего. Например, 32 + 42 = 52. Или 52 + 122 = 132. Таких числовых троек бесконечно много. Но нельзя, оказывается, подобрать три целых числа, чтобы сумма кубов двух из них равнялась кубу третьего. Нельзя это сделать ни для четвертой, ни для пятой - словом, вообще ни для какой степени, если она больше двух. Иначе говоря,
хn + уn zn, если n > 2
Ферма записал эту теорему на полях "Арифметики" Диофанта35 и уверял, что доказал ее. Но найти его доказательство так и не удалось. Остается предположить, что если оно вправду было, то Ферма сам уничтожил его, обнаружив в нем ошибку...
С тех пор вот уже триста лет над теоремой бьются многие математики, великие и невеликие, молодые и старые, профессиональные и самодеятельные. Некоторым удалось доказать ее для отдельных или, как у нас говорят, частных случаев, однако общее доказательство по-прежнему остается неуловимым.
Иногда, правда, интерес к теореме несколько ослабевает, но довольно малой искры, чтобы заставить его вспыхнуть с новой силой. Были времена, когда увлечение теоремой Ферма превращалось в настоящий свирепый психоз...
- Не психоз, а ферманьячество, - скаламбурил Фило. - Но я, право, не понимаю, при чем тут Фибоначчи?
- До вчерашнего дня я сам этого не знал... Зато сегодня!..
Но тут, в тот самый момент, когда любопытство Фило достигло крайнего напряжения, сердито зарычал Буль, и Мате прервал свой рассказ на самом интересном месте.
- Кажется, к нам заявились незваные гости, - сказал он. - Буль всегда их загодя чувствует.
И правда, в ту же секунду раздался звонок. Пес тотчас направился к двери. Мате, естественно, последовал за ним, и любопытный филолог остался один на один со своим взбудораженным воображением.
ФИЛО ГАДАЕТ
"Интересно, кто это пришел?" - думал он, ожидая, что вот-вот появится Мате в сопровождении посетителя.
Но никто почему-то не приходил.
Прислушиваясь к возбужденным голосам в коридоре, Фило от нечего делать рассматривал большую, давно не ремонтированную комнату, забитую книгами и старой разнородной мебелью. Внезапно он подумал, что Мате, в сущности, никогда о себе не рассказывал, и постарался представить себе его жизнь.
Ему почему-то казалось, что друг его рано осиротел и воспитывался у какой-нибудь тетки, обязательно старой девы, доброй, но страшно безалаберной и мечтательной, а сверх того - страстной любительницы книг. Все свое свободное время она проводила за чтением, лежа на той вон облезлой кушетке, а иногда, по вечерам, когда маленький Мате готовил уроки, раскладывала пасьянс, дымя папиросой и роняя серые столбики пепла на старинные, замусоленные карты.
Время от времени в комнату въезжал очередной полуразвалившийся шкаф или просиженное кресло: это соседи купили новую мебель и попросили приютить прежнюю - ненадолго, конечно, пока не продастся... Тетка беспечно на это соглашалась, но старые вещи почти никогда не продавались, и, привыкнув к ним, она переставала их замечать.
