- Ладно! - смилостивился Мате. - Я не заставлю вас гадать ни на картах, ни на кофейной гуще. Вот вам некоторые наводящие данные. В кармане у меня только трех- и пятикопеечные монеты на сумму 49 копеек.
- Так бы сразу и сказали! Теперь я, по крайней мере, понимаю, что должен составить уравнение, и притом весьма простое. Обозначим число пятачков через х, а число трехкопеечных монет - через у. Тогда пятикопеечных монет будет на сумму 5х, а трехкопеечных - на 3у. Общая сумма их, как известно, 49 копеек. Следовательно, 5х + 3у = 49.
- Ставлю вам пять с плюсом, - сказал Мате. - Уравнение отличное. Но как вы его решите?
Фило призадумался. Попробуйте-ка решить одно уравнение с двумя неизвестными!
- Не беда, - утешил его Мате. - Мы ведь с вами знаем, что число монет каждого достоинства может быть только целым, а не дробным. Так давайте попробуем подобрать эти числа. Начнем, естественно, с самого маленького целого числа: с единицы. Иначе говоря, предположим, что пятачок у меня всего один. Пишем: х = 1. Теперь подставим это в наше уравнение: 5 х 1+ 3у = 49. Отсюда 3у = 44, а у=44/3
- Простите, 44/3 не целое число...
- Прекрасно. Значит, наше предположение отпадает. Теперь допустим, что х = 2. Тогда 5 х 2 + 3у = 49. Отсюда 3у = 39, у = 13. Получается, что у меня два пятака и тринадцать трехкопеечных монет.
- Браво! - ликовал Фило. - Задача решена!
-Экий вы быстрый! А ну как есть другое решение? А вдруг у меня не два, а пять пятачков? Возможно это или невозможно?
- Сейчас узнаем. 5 х 5 + 3у = 49. Отсюда 2у = 24, у = 8. Вот так компот! Выходит, у задачи не одно решение.
- Как видите.
- Поискать, что ли, другие?
И Фило принялся за поиски. Перебрав варианты х= 3, 4, 6 и 7, он убедился, что ни один из них невозможен. Зато при х = 8 игрек оказался равным 3. Таким образом к прежним двум прибавилось еще одно, третье решение. Однако вариант х = 9 опять не подошел. Фило собрался было подставить х = 10, но Мате, смеясь, остановил его: ведь в этом случае одних пятачков было бы на 50 копеек, а у него всего 49. Значит, дальнейшие поиски бессмысленны.
- Итак, - подытожил он, - мы выяснили, что уравнение имеет три решения: 1) х = 2, у = 13; 2) х = 5, у = 8; 3) х = 8, у = 3. Следовательно, в кармане у меня либо 15, либо 13, либо 11 монет.
Фило неодобрительно поджал губы. Ну и точность! Тут уж бабушка не надвое, а натрое гадала.
- Потому-то уравнения такого рода и называются неопределенными, разъяснил Мате. - Кроме того, наше уравнение отличается от других неопределенных еще и тем, что по условию ответ его должен быть обязательно в целых числах.
- Не понимаю, - надулся Фило, - кому нужны уравнения с несколькими ответами?
- Не скажите. Неопределенные уравнения интересовали математиков с глубокой древности. Ими занимались еще в Древней Индии! Но особенно подробно изучал их грек Диофант. Он рассмотрел многие неопределенные уравнения вплоть до четвертой степени и нашел для каждого все возможные решения в целых числах. Потому-то уравнения такого рода стали называть диофантовыми, хотя общего метода решения их Диофант не обнаружил.
- Но для чего все-таки нужны такие уравнения? Где они используются?
- Везде. В любой науке, в любой отрасли народного хозяйства - всюду, где мы имеем дело только с целыми числами. Вот, например, может ли фабрика выпустить не целое число шляп, скажем, 245 с четвертью? Можно ли запустить в космос полтора спутника? Бывает ли в табуне не целое число лошадей? Разумеется, нет. Таких задач, которые должны быть решены только в целых числах, великое множество. Понимаете теперь, какое важное место в нашей жизни занимают диофантовы уравнения?
- Понимаю, понимаю, - сдался Фило. - Но вам не кажется, что мы слишком отдалились от первоначальной темы нашего разговора? Говорили о числах Фибоначчи, потом ни с того ни с сего перескочили на диофантовы уравнения...
- Это вы называете "ни с того ни с сего"? Да ведь между ними самая прямая связь! Да будет вам известно, что десятая проблема Гильберта, решенная посредством чисел Фибоначчи, касается именно диофантовых уравнений! Она предлагает указать способ, с помощью которого после конечного числа операций возможно установить, разрешимо ли данное диофантово уравнение в целых числах.
- Вот оно что! - сообразил Фило. - Стало быть, именно этот способ и нашел Юрий Матиясевич?
Мате замялся.
- Жаль вас огорчать, но все было как раз наоборот. Матиясевич разрешил десятую проблему в отрицательном смысле. Он доказал, что такого способа в общем виде не существует.
- Ууу! - разочарованно протянул Фило. - Так десятая проблема Гильберта оказалась бесполезной?
Мате сердито замахал руками. Что за чепуха! Во-первых, метод, который применил Матиясевич, разрешая десятую проблему, представляет огромную ценность для математики уже сам по себе. Во-вторых, вывод его избавил ученых от дальнейших поисков в этом направлении. И наконец, в-третьих, десятая проблема Гильберта привела к возникновению новой ветви математики, которая называется теорией алгоритмов. А это такое... такое...
Но тут раздался взволнованный, срывающийся голос Фило:
- Мате, Мате! Взгляните на результаты нашего уравнения! Два, три, пять, восемь, тринадцать... Это же числа Фибоначчи!
Мате оторопел. Что за чудеса! Как он сразу не заметил? Впрочем... впрочем, может ведь оказаться, что произошло случайное совпадение. Попробовать разве проверить, какие решения получаются при других суммах? Вот хоть для четырнадцати копеек.
Он быстро перебрал все возможные варианты и нашел, что уравнение имеет всего-навсего одно решение: х = 1, у = 3.
- Снова числа Фибоначчи! - определил Фило. - Возьмем еще какую-нибудь сумму. Двадцать одну копейку!
На этот раз тоже получилось одно решение, и опять-таки в числах Фибоначчи: х = 3, у = 2.
Мате испытующе покосился на друга.
- Ну, - сказал он насмешливо, - почему вы не кричите, что мы с вами сделали великое открытие?
Фило плутовато погрозил ему пальцем. Теперь он стреляный воробей знает, что три частных случая ни о чем еще не говорят!
- А что будем делать с поисками общей закономерности? - продолжал иронизировать Мате. - Снова спихнем на мессера Леонардо?
- Хорошо бы, конечно, - подыграл ему Фило, - но может быть, все-таки займемся сами? Переберем не три, а три тысячи три варианта, а потом возьмем да выведем какую-нибудь сногсшибательную формулу...
Мате с азартом шлепнул себя по колену.
- Идет!
Но тут он услыхал угрожающее рычание Буля и недовольно обернулся к двери: неужто еще один ферманьяк пожаловал? Так и есть - звонят!
Он вздохнул и покорно отправился разъяснять очередную ошибку.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Великий треугольник
В ЗАБРОШЕННОЙ МАНСАРДЕ
Тысяча шестьсот шестьдесят... Впрочем, к чему излишняя точность в повествовании столь фантастическом, как наше? Начнем лучше так: вторая половина семнадцатого столетия. Теплый весенний день близок к концу. Заходящее солнце освещает островерхие кровли Парижа, заставляя еще жарче пламенеть и без того яркую их черепицу.
Солнце делает свое дело. Не ведая сословных различий и предрассудков, щедро заливает оно золотом и гордые фасады дворцов, и скромные жилища горожан. Лучи его с тем же ласковым равнодушием заглядывают и в зеркальные стекла богатых особняков, и в убогие оконца мансард, где вечно ютятся бедные парижские цветочницы и голодные поэты...
Последуем за солнцем и тоже заглянем в одну из таких пыльных чердачных каморок со скошенным, затянутым паутиной потолком. Заглянем - и удивимся: каким ветром занесло сюда двух этих светских щеголей? Что им тут надо?
Один из них - длинный и тощий - примостился на ручке старого штофного кресла и сидит там, как петух на насесте, поджав ноги в коротких атласных, отороченных кружевами панталонах. Другой - круглый и приземистый, в пышном светлокудром парике и голубом бархатном кафтане - толчется посреди комнаты, что-то напевая и старательно выписывая ногами замысловатые фигуры.
- Послушайте, - говорит первый, насмешливо поблескивая острыми глазками, - долго это будет продолжаться?
- Что именно? - вежливо осведомляется второй, не прерывая своего занятия.
- Можно подумать, вы не понимаете! Я имею в виду то, что выделывают ваши нижние конечности.
- У нас во Франции это называется менуэтом.
Первый отвечает коротким язвительным кивком.
- Благодарю за разъяснение. Не скажете ли заодно, как называется У НАС ВО ФРАНЦИИ та кружевная слюнявка, которую меня заставили прицепить под подбородком?
Второй сердито всплескивает короткими ручками. Он даже покраснел от негодования. Слюнявка?! Фи, фи и в третий раз фи! Пора бы запомнить, что это жабо. И притом прелестное!
- Очень может быть, - соглашается первый, - но при чем тут я?
- То есть как - при чем? - окончательно выходит из себя второй. - Да вы понимаете, где мы находимся? Мы же с вами в Париже времен Людовика XIV! А при дворе Людовика царит невероятная, неслыханная роскошь. Только что заново отделана загородная резиденция короля - Версаль. Надеюсь, вы не собираетесь разгуливать по Версалю в кедах и джинсах?
