"Невозможно, или по крайней мере очень трудно, найти основы первых начал". И он был сто раз прав. После Евклида прошло более двух тысяч лет. За такой великий срок все знаменитые геометры - от античных Паппа и Прокла до современных энциклопедистов Даламбера и Лежандра - ломали головы над сией задачей, пытаясь усовершенствовать или по своему разумению изложить исходные геометрические понятия и аксиомы.
Повернувшись к незатопленному камину, Бартельс неторопливо выбил пепел из трубки.
- Так вот, их сочинения выходили под разными названиями, - снова он обратился к внимательно слушавшему Лобачевскому. - "Обновленный Евклид", "Евклид, освобожденный от всяких пятен". "Опыт усовершенствования элементов геометрии"... Кстати замечу, мой славный ученик Гаусс тоже несколько лет ломает голову над проблемой обоснования геометрии. Но решения лучше Евклидова и по сей день еще никому найти не удалось. Воздадим же должное гению великого эллина и не будем зря силы тратить на ненужный поиск. Не лучше ли нам обратить внимание на высшие части математики?
Бартельс говорил плавно и свободно, подчеркивая наиболее важные мысли короткими взмахами чубука.
Внимание Лобачевского раздваивалось. Одновременно слушал он Бартельса и вспоминал: как же так, ведь еще Дидро говорил, что "одни участки широкого поля науки темны, другие освещены. Цель нашего труда - расширить границы освещенных мест, или же приумножить в поле источники света". Лобачевскому хотелось напомнить об этом, но прерывать почтенного профессора не решался.
Тот же, уютно устроившись в кресле и помахивая изящным чубуком, продолжал:
- Вообще, молодой человек, нужно ли утруждать себя поиском новых путей в построении основ геометрии? Что худого в том, что мы получили геометрию в виде совершенно законченном, как тысячелетнее, не нами накопленное богатство? Разве плоды ее, обобщенные так блистательно Евклидом за двести семьдесят лет до нашей эры, не стали азбучными основами знания, фундаментом всех точных наук? И разве были какие-нибудь сомнения в ее истинности, побуждающие к новому обоснованию?
Лобачевский молчал, хотя все новые противоречивые мысли не давали ему покоя. "Действительно, практика жизни всегда подтверждает справедливость Евклидовой геометрии. Было когда-нибудь, чтобы дом развалился оттого, что в основании Евклидовой геометрии лежат темные понятия? И все-таки..."
- Герр профессор, - решился он возразить, - кто не согласится, что никакая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, мы начинаем геометрию?
- Не забудьте, молодой человек, еще до сегодняшнего дня Евклидова система была никем непревзойденной, замечательной математической абстракцией... - снисходительно улыбнулся Бартельс, но закончить не успел.
- Однако чрезмерная отвлеченность в "Началах" как раз и мешала этой абстракции найти для себя реальную основу, - горячо перебил Лобачевский. Я не могу примириться с тем, - продолжал он с увлечением, - что за двадцать веков, прошедших со времен Евклида, происхождение абстрактных понятий и аксиом геометрии так и осталось невыясненным. Именно это я и считаю причиной застоя в геометрии... Еще Гераклит говорил, что все течет, все изменяется...
Бартельс внимательно слушал его с доброй улыбкой в уголках тонко очерченных губ. В этой улыбке чувствовалась снисходительность маститого ученого к нетерпеливой горячности юного и неопытного геометра.
- Верно, что науки с неба не падают, а постепенно и медленно развиваются трудами многих и многих, - сказал он, продолжая улыбаться. Верно также, что теперь в началах геометрии путаница мыслей не имеет предела.
Смею думать: причиной тому служит отсутствие единого подхода к выбору первоосновы при разработке системы геометрических понятий. Я попытаюсь объяснить: в древнем мире геометрия возникла из потребности межевания или раздела земель на участки. Измерение длины и ширины частей производилось тогда с помощью канатов или собственных шагов. Посему и не удивительно, что у всех античных геометров первоосновой были такие понятия, как часть, длина и ширина. С помощью их получали свое определение точка, линия и поверхность.
- Каким образом? - нетерпеливо спросил Николай.
- Очень просто. Установление точных границ земельных участков, наряду с другими потребностями, например с необходимым сужением пограничной зоны, привело к понятию линии как длины, не имеющей ширины. К другому древнему геометрическому понятию - точка есть то, что не имеет частей, - скорее всего пришли в абстрактном процессе уменьшения размеров какого-нибудь земельного участка или тела путем беспредельного деления...
- Но всякое реальное тело, будучи материальным, имеет части, - возразил Николай, волнуясь, - процесс деления материального тела не может завершиться.
Бартельс довольно кивнул: этот горячий, думающий студент начинал его интересовать.
- Согласен с вами. Еще древнегреческий философ Анаксагор говорил: "В малом не существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, не может перестать существовать от деления, как бы далеко ни было продолжено последнее".
- Как хорошо сказано, лучше не скажешь! Герр профессор, разрешите, я это возьму себе на заметку, - и Лобачевский, вынув из кармана маленькую тетрадь, записал эти слова Анаксагора. - Все же по затронутому вопросу я не могу быть согласен с древними геометрами, - продолжал он, пряча записную книжку. - Ведь понятия части, длины и ширины не существуют в природе, а только в мысли. Следовательно, они производные или составленные, требующие существования других, и поэтому не должны приниматься за первоначальные понятия.
Бартельс опять кивнул и, раскрыв на столе коробку с табаком, начал набивать свою трубку.
- Разумеется, в определениях древних геометров, - сказал он, - много наивности и Несовершенства. Но в те времена и сама геометрия понималась не в столь широком смысле, как теперь. А мы сами-то чем отличились от своих предков? Разве только тем, что дело обоснования геометрии еще больше запутали. В наше время каждый придирчивый геометр в качестве первоосновы старается выдумать что-нибудь свое, вроде: троякое протяжение или трехмерное пространство, движение, даже прикосновение тел и также их...
- Рассечение, - подсказал Николай, от удивления широко раскрыв глаза. Откуда вам известны мои мысли, герр профессор?
- Вчера я получил письмо от господина Корташевского, - смеясь, объяснил Бартельс. - Да, замысел у вас интересный. Однако и Декарт и Кант по-своему правы. Декарт, основатель универсальной математики, объяснение всех явлений полагает в движении. И его новое понятие движения куда проще, чем понятия поверхности и линии в Евклидовых "Началах". Вот что писал он по этому поводу в своем "Трактате о мире". - Бартельс взял с письменного стола книжку в роскошном переплете и, открыв страницу, заложенную пером, прочитал: "Это видно хотя бы из того, что линию геометры объясняют посредством движения точки, а поверхность - посредством движения линии..." Ну, что вы теперь изволите сказать, молодой человек? Разве понятие движения не достойно быть первоначальным? Да вы и сами, наверное, наблюдали ночью падающую звезду, которая огненной точкой чертит на небе отчетливую линию. А фейерверка, оставляющего за собой блестящий след, не видали?
" Как не вждал, герр профессор, вндал!..= ответил ему Лобачевский, вспомнив случай с ракетой. - Да, мне тоже кажется, что движение достойное первоначальное понятие.
- А трехмерное пространство? Кто же не согласится, что каждое естественное тело имеет три протяжения. Раз так, отсюда сделан и такой вывод. - Бартельс теперь заглянул в другую раскрытую книгу и прочитал, отчеканивая каждое слово: - "Геометрия есть наука, определяющая свойства пространства..."
- Чье суждение? - заинтересовался Лобачевский.
- Моего соотечественника Иммануила Канта, - профессор, придерживая пальцем нужную страницу, показал обложку.
- "Критика чистого разума", - прочитал Николай заглавие этой книги.
- Как видите, мой друг, каждый кз нас по-своему прав, и поэтому каждый старается отстаивать именно свою точку зрения. А в конечном итоге - полная неразбериха, пугающая всех еще в самих началах. Вот результат наших умствований...
- Но, герр профессор, источником всех знаний является одна и та же природа, а отсюда и система геометрии должна быть единой, - настаивал Николай.
- А почему же тогда выбор первоосновы сей науки столь произволен? ответил вопросом профессор. - Чем вы это объясните?
Бартельсу не раз уже приходилось обсуждать начальные проблемы геометрии. И на все вопросы и сомнения у него давно сложились готовые ответы. Профессор, пожалуй, как никто, видел слабые стороны геометрии Евклида.
Но ради сохранения душевного спокойствия давно уже отказался от всяких попыток построить геометрию на новых началах.
